内容讲义讲稿

高教社杯大学生数学建模竞赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用统一编号（由赛区送交前编号评阅编号（由评阅前进行编号PAGEPAGE6古塔的变的变形情况。利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及程序，分别求出对于问题三，我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及程度来分析古塔的变形趋势。程序，得到了倾斜角、弯曲率以及相对度的预测函数和误差检验，验证：古塔变形；最小二乘拟合；空间曲线曲率；坐标矩阵变换；灰色预1、问题重由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受、飓风的影响，古塔产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、等。为保护古塔，部门需适时对古塔进行2、模型的假3、变量说 (x*(ky*(kz*(k：第k次测量时第i层中心点坐标（i12,,13，k12,3,4；(xj(k),yjkzjk：第 (x*(k),y*(kz*(k))：第k次测量时塔尖的中心点坐标（k12,3,4dij(k：第k次测量时第ijzAi(k)xBi(kyCi(k)：第k次测量时第iH(k：第k次测量时古塔的塔高（k12,3,4d(k：第k次测量时古塔的塔尖与塔的底层中心的水平距离（k12,3,4(k)：第k次测量时古塔的倾斜角（k1234x(t)a(k)t2b(k)tc(k

(ta(k)t2b(k)tc(k：第kk k zk(t)

Kk：第k次测量时古塔的弯曲率（k12,3,4ij(k)：第k次测量时古塔第i层第j个观测点相对于上次测量 （i1,2,,13，j1,2,,8，k2,3,4i(k)：第k次测量时古塔第i层相对于上次测量的平 （i1,2,,13，k2,3,4(pi(k),qi(k))：第k次测量时古塔第i层相对于上次测量的水平坐标平移（i1,2,,13，k2,3,4x(0) (1)x(0) 4、模型准对建筑物变形、倾斜、弯曲、的理 建筑变形：建筑的地基、基础、上部结构及其场地受各种作用力而产生的形状或文中，我们定义倾斜角，其正切值即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值，即tand。H在空间曲线的曲率定义了古塔的弯曲率K。：建筑产生的非竖向变形。由于为非竖向的变形，讨论古塔时只需考xy坐标的水平旋转，因此我们用古塔水平旋转角度的缺失数据的预处理变化值为(0.055,0.173,4.271)5十三层的缺失数据赋值为(567.984,519.588, 的缺失数据赋值为(567.99,519.5816,52.983)小，所以对于只有一个测量点的塔尖数据，其近似处理为塔尖中心点坐标。5、模型的建立与求1模型建立与建模思模型分析AxByCzD0(CzAxBy 因此可设第k次测量时第izAi(k)xBi(k)yCi(k minAi(k)xj(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)(i1,2,,13;k1,2,3, j(2)模型求 f(Ai(k),Bi(k),Ci(k))Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k) jf 即

2[Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)]xij(k)jj

2[Ai(k

(k)Bi(k)

(k)Ci(k)

(k

(k)

2[Ai(k)xij(k)Bi(k)yij(k)Ci(k)zij(k)]zij(k)j Ai(k)xij(k)Bi(k)[xij(k)yij(k)]Ci(k)xij(k)[xij(k)zij(k j j j j Ai(k [xij(k)yij(k)]Bi(k yij(k)Ci(k yij(k) [yij(k)zij(k j j j j8A(k[x(k)z(k)]B(k)8[y(k)z(k)]C(k)8z(k)8

z2(k j j j j将各层观测值xij(k),yij(k)带入上式，利用 线性方程组，解得每次测量各层的拟合平面系数Ai(k),Bi(k),Ci(k)如表1所示。第i第iABCABC1-1-2-2-3--3--4--4--5--5--6--6--7--7--8--8--9--9第i第iABCABC1--1--2--2--73--3--4--4--5--5--6--6--7-7-8-8-9-90中心点的确特征，我们在5.1.2中所求得的各层拟合平面中寻找一点，使其到该层各观测点距离的平minj

d(k)

8j

[(x(k)x*(k))2(y(k)y*(k))2(z(k)z*(k))2 zi*(k)A(k)x*(k)B(k)y*(k) 模型 ii iimind(k)[(x(k)x*(k))2(y(k)y*(k))2(z(k)A(k)x*(k)B(k)y*(k)C(k))2 j j8标如表2所示，将其绘成三维图如图2所示。i第一次测量各层的中心坐i第二次测量各层的中心坐xyzxyz11223344556672978899塔塔i第三次测量各层的中心坐i第四次测量各层的中心坐xyzxyz112233445566778899塔塔2模型建立与建模思倾斜、弯曲、。平距离与塔高的比值，即tanH

对于变形，考虑到变形实际为古塔水平面的旋转产生，因此我们采用二维坐标塔的度。但是，实际中水平面坐标(x,y)不仅发生了旋转变换，还受到倾斜弯曲形等所引起的平移变化的影响，因此我们在考虑坐标变换的时候加入了平移量pq)，倾斜变模型分析与建古塔的倾斜变形可用其倾斜角tanH因此，第k(k)arctand(kH(kx(k)x(x(k)x(k)y(k)y1(k)1H(k)z*(k)z*(k111x(k)x(k)x(k)y(k)y(k再将所得d(k)H(k)

，H(k)z*(k)z*(kH(k 编程（程序见附录3）求解出(k)的值如表3所示测量次倾斜1234模型结果的分，弯曲变模型分析与建1zOx平面和yOz平面，利用投影法拟合出轴线的参数方程，然后利用拟合出的空间曲线曲率来刻画古塔在各层的弯曲率K。间曲线 (xi*(k),0,z*(k)),(0,y*(k),z*(k))(i1,2,,13),(x*(k),0,z*(k)),(0,y*(k),z* x(t)a(k)t2b(k)tc(k

(t)a(k)t2b(k)tc(k z(t)

x(t)a(k)t2b(k)tc(k的曲率公式

(ta(k)t2b(k)tc( zk(t)Kk

xkxky(t)y z(t) zxkxky(t)y z(t) zkkkky ykkz zkkx(t)kxk3 模型求间曲线xzyz坐标分别进行二次拟合，设拟合出的空间曲线参数方程为x(t)a(k)t2b(k)tc(k y (t)a(k)t2b(k)tcy zk(t) (i1,2;k1,2,3,4)如表4所示。ai(kbi(kci(k-x2y2-x3y3--x4y4

x(t)a(k)t2b(k)tc(k

k(ta(k)t2b(k)tc(k k z(t) x(t)2a(k)tb(k yk(t)2a2(k)tb2(k)

zk(t)xk(t)2a1(k

(t)2a2(k)zk(t)4ai(kbi(kci(k(i12;k1,2,3,4xyz分别对t的Kk

xkxk2 xkxk2 zk(t)zkykykzkzkxkxk2yk yk3222 k y z 5Kk年第 层123456789塔模型结果的分变模型分析与建变形是建筑产生的非竖向变形，实际上是由水平坐标(x,y)的旋转变换所致。因此我们考虑对古塔各观测点的水平坐标进行坐标旋转，通过计算其旋转角度来描述该点相对于上次测量的度，并对每层各观测点的度取平均值得到该层相对于上次测量的平均度。由于古塔的水平坐标变换不仅由所导致的旋转变换决定，还与倾斜和弯曲所引对度和水平坐标的相对平移量pq)，综合考虑水平坐标的旋转变换和平移变换，(x(k1),y

1))

(k),y(k sin cos(k) 度ij(k)，再对同一层的ij(k)取平均

j 8则可求得第k次测量时每层的平均相对度(xij(k1)cosij(k)yij(k1)sinij(k),xij(k1)sinij(k)yij(k1)cosij(k(pi(k),qi(k))(xij(k),yij(k即 xij(k1)cosij(k)yij(k1)sinij(k)xij(k)pi(k x(k1)sin(k)y(k1)cos(k)y(k)q(k ) x(k1)cos(k) (k1)sin(k) x(k1)sin(k) (k1)cos(k)[ (k) x(k1)cos(k) (k1)sin(k) x(k1)sin(k)y(k1)cos(k)[y(k) 1x为简化该无条件极值的计算，我们令x cos，将其转换为关1x 值如表6所示。图6：各层的平均相对i各层的平均相 度i1-7.16E--3.95E-2.80E-21.05E--3.48E--5.58E-31.83E--4.40E--1.44E-4-6.65E--3.05E--3.83E-53.09E--3.50E--1.34E-6-1.21E--4.12E--4.87E-7-8.74E--2.59E-1.32E-87.86E--2.32E--1.56E-9-5.02E--2.10E--1.62E-1.18E--1.84E--1.76E-1.76E--3.68E--1.96E-1.98E--4.70E-1.66E-1.59E--7.17E--2.39E-模型的分析与建

d2dt

adx(1)b模型求x(0)(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4))x(1)(1)x(0)((1)x0(1),(1)x0(2),(1)x(0)(3),(1)x(0)(4))d2dt

adx(1)b由于DGM(2.1)

d2dt

1ab(BB)Bx(0)

z(1) z(1) B M z(1) (x

x(0)(2)x(0)(1)1)

x(0)(3)x(0)Y M(1)

(n) (n t e0214286t表7：倾斜角2340K t e0206742t K2 t e020758tK

e0208378tK4 t e020911tK

e0209941t K6

e0

KK

e0 e0

K9

e0 e0

t

0

K11 t e0215636t t

0

t e021729t12-1.04E-3-2.05E-4-2.72E-22-1.04E-3-2.05E-4-2.73E-32-1.04E-3-2.05E-4-2.74E-42-1.04E-3-2.05E-4-2.74E-52-1.04E-3-2.05E-4-2.75E-62-1.05E-3-2.05E-4-2.75E-72-1.05E-3-2.05E-4-2.76E-82-1.05E-3-2.05E-4-2.77E-92-1.05E-3-2.04E-4-2.77E-2-1.05E-3-2.04E-4-2.78E-2-1.05E-3-2.04E-4-2.78E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.79E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.80E-2-1.06E-3-2.04E-4-2.80E-相对度的预测函1 7e198118t0.00000199238t12 2

7e201936t0.00000175148t e2

t 240.00000745858 2

1

t70.00000645303e1 t7 e2 t 0.00000523741e2 t9 0.00000461629e211286t0.00000963558t100.00000923582e2 t

e1 e2

表9：相 度的误差检验12-7.16E--7.16E-7.94E-1.11E-3-3.95E-4.07E--8.02E-42.80E-4.20E--4.20E-221.05E-1.05E-1.64E-1.56E-3-3.48E-3.95E--7.43E-4-5.58E-4.12E--4.13E-321.83E-1.83E-2.38E-1.30E-3-4.40E-5.14E--9.54E-4-1.44E--42-6.65E--6.65E-4.24E-6.37E-3-3.05E-3.16E--6.21E-4-3.83E--523.09E-3.09E-1.70E-5.50E-3-3.50E-4.08E--7.58E-4-1.34E--62-1.21E--1.21E-1.03E-8.53E-3-4.12E-4.48E--8.60E-4-4.87E--72-8.74E--8.74E-2.12E-2.42E-3-2.59E-2.79E--5.38E-41.32E--827.86E-7.86E--3.97E-5.05E-3-2.32E-2.60E--4.92E-4-1.56E--92-5.02E--5.02E--3.97E-7.91E-3-2.10E-2.31E--4.41E-4-1.62E--21.18E-1.18E-4.50E-3.81E-3-1.84E-2.39E--4.23E-4-1.76E--21.76E-1.76E-3.18E-1.80E-3-3.68E-4.45E--8.13E-4-1.96E--21.98E-1.98E--4.76E-2.41E-3-4.70E-4.97E--9.67E-41.66E--21.59E-1.59E-3.44E-2.16E-3-7.17E-7.96E--4-2.39E--6、模型的分析、推广与改本文中讨论了古塔的变形特征，围绕着中心点刻画了三种不同变形情况的数学描本文题目给出的确定古塔各层中心点位置的通用方法可以推广至其他建筑物及测7、参考文[1]《中民行业标准建筑变形测量规范(JGJ8—2007)[2]文库. ed9ac51f305[3]，，平面曲线与空间曲线曲率及其算法[J].德州学院学报，2013.4，第92[4]，，数学建模算法与应用[M].国防工业[5]FrankR.Giordano,MauriceD.Weir,WilliamP.Fox，数学建模(第3版)[M].：机械工[6]，数学建模实用[M].高等教育8、附holdon;fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients1(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients1(1);YCoeff=Coefficients1(2);CCoeff=Coefficients1(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%绘制三维图形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients1%由程序计算所得的系fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients2(:,k)=[XcolvYcolvXCoeff=Coefficients2(1);YCoeff=Coefficients2(2);CCoeff=Coefficients2(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%绘制三维图形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients2%由程序计算所得的系fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients3(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients3(1);YCoeff=Coefficients3(2);CCoeff=Coefficients3(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%绘制三维图形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients3%由程序计算所得的系a=m(:,1:3);%1989年观测数据a2=m(:,7:9);%2009年观测数a3=m(:,10:12);%2011年观测fork=1:13Xcolv=Ycolv=Zcolv=Const=Coefficients4(:,k)=[XcolvYcolvConst]\Zcolv;XCoeff=Coefficients4(1);YCoeff=Coefficients4(2);CCoeff=Coefficients4(3);L=plot3(x,y,z,'ro');%绘制三维图形holdon;grid[xx,zz=XCoeff*xx+YCoeff*yy+CCoeff;title(sprintf('Plottingplanez=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,Coefficients4%由程序计算所得的系程序二：（中心点坐标的确定 functionf=ff2(x,A,B)f=sum((x1-x(1)).^2+(y-x(2)).^2+(z-然后，再运行如下程序F1=m(:,1:3);%1989年观测数据F2=m(:,4:6);%1999年观测数据F3=m(:,7:9);%2009年观测数据P1=[.P2=[P3=[--0.00376P4=[fork=1:13A=F1([c(k,1):c(k,2)],:);%1986年观测数b1(1:2,k)=fork=1:13A=F2([c(k,1):c(k,2)],:);%1996年观测数b2(1:2,k)=fork=1:13A=F3([c(k,1):c(k,2)],:);%2009年观测数b3(1:2,k)=fork=1:13=b4(1:2,k)=b1forb程序四：（空间曲线方程的拟合 x1=polyfit(z,x,2)%z为自变量，x为因变y1=polyfit(z,y,2)%z为自变量，y为因变为自变量为因变为自变量为因变 为自变量为因变为自变量为因变 x4=polyfit(z,x,2)%z为自变量，x为因变y4=polyfit(z,y,2)%z为自变量，y为因变symsx1y1x2y2x3y3x4y4 %中心点z轴数forb(k,1)=sqrt(((69/10000-(3*n(2,k))/25000)*(1/50000)-(107/12500-n(2,k)/50000)*(-3/25000))^2+(-^2+(1/50000)^2)/sqrt(((69/10000-(3*n(2,k))/25000)^2+(107/12500-c(k,1)=sqrt((((n(3,k))/25000+539/50000)*(-1/12500)-(-341/50000-+(-1/25000)^2)/sqrt(((n(3,k)/25000+539/500