2021-2022学年四川省广安市邻水县袁市中学高三数学理模拟试题

2021-2022学年四川省广安市邻水县袁市中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,,则=(

)A.

B.3×+1

C.3×

D.+1参考答案：C略2.若则过可以做两条直线与圆相切的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知实数x，y满足，若ax+y的最大值为10，则实数a=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，判断最优解的位置，将点的坐标代入求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），令z=ax+y，因为z的最大值为10，所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过（0，10），所以z=ax+y与可行域有交点，当a＞0时，直线经过A时z取得最大值．即ax+y=10，将A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，当a≤0时，直线经过A时z取得最大值．即ax+y=10，将A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，与a≤0矛盾，综上：a=2．4.已知集合，则如图所示阴影部分表示的集合为（

）A．B．C．D．参考答案：C5.若,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B7.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（

）A.0.18 B.0.32 C.0.36 D.0.64参考答案：C【分析】利用面积型几何概型求解即可【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.选.【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是中档题8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设实数x，y满足不等式组则的取值范围是A．[0，]

B．[，]

C．[0，]

D．[，]参考答案：B略10.下列命题中，真命题是（

）A．

B.是的充要条件

C．D.命题的否定是真命题。参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（不等式选做题）若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：12.已知集合，则集合

.参考答案：13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__

___．参考答案：14.有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为________．参考答案：3115.函数的定义域为

参考答案：略16.已知命题p：?n∈N，n2＜2n，则￢p为．参考答案：?n0∈N，n02≥【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：￢p：?n0∈N，n02≥，故答案为：?n0∈N，n02≥【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．17.B.（坐标系与参数方程）已知极点在直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.则曲线C上的点到直线的最短距离为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分l4分）已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[-1，4]上的最大值是12．(I)求f(x)的解析式；(II)是否存在正整数m,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．参考答案：19.设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．20.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（I）求a的值；

（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．参考答案：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，.…………3分∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分（Ⅱ）由正弦定理可得，∴b=sinB，c=sinC………7分∴C△ABC=3+（sinB+sinC）=3+[sin（﹣C）+sinC]=3+sin（+C）…8分∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，.…………10分∴△ABC周长的最大值为3+．.…………12分21.若{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意，存在，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列”.（1）设，证明：数列{an}是{cn}的分隔数列；（2）设是{cn}的前n项和，，判断数列{Sn}是否是数列{dn}的分隔数列，并说明理由；（3）设是{cn}的前n项和，若数列{Tn}是{cn}的分隔数列，求实数a，q的取值范围．参考答案：（1）证明见解析；（2）数列不是数列的分隔数列；（3）.【分析】（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得证；（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1）∵{cn}是递增数列，数列{an}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，∴cn≤am＜cn+1，∵cn＝2n，am＝m+1，∴2n≤m+1＜2n+2，∴2n﹣1＜m≤2n+1，∴m＝2n，∴对任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，则称{an}是{cn}的“分隔数列；（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n项和，dn＝c3n﹣2，∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，∴d1＝﹣3，∴Sn＝＝n（n﹣7），若数列{Sn}是数列{dn}的分隔数列，∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），由于n＝4时，12≤m（m﹣7）＜18，不存在自然数m，使得不等式成立，∴数列{Sn}不是数列{dn}的分隔数列；（3）设，Tn是{cn}的前n项和，∵数列{Tn}是{cn}的分隔数列，则{cn}为递增，当a＞0时，q＞1，∴aqn﹣1≤＜aqn，即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；q＞2时，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2时，q2﹣1＜q2（q﹣1），解得q＞2，对n＞3也成立；当a＜0时，0＜q＜1时，aqn﹣1≤＜aqn，即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，则a＜0，0＜q＜1不成立，综上可得，a＞0，q＞2．【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；（3）求证：对于任意的n∈N*，且n＞1时，都有lnn＞++…+成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增化为导数恒不小于0，从而求a的取值范围；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．（3）由（1）知函数f（x）=﹣1+lnx在[1，+∞）上为增函数，构造n与n﹣1的递推关系，可利用叠加法求出所需结论【解答】解：（1）由题意，f′（x）=﹣=，∵a为大于零的常数，若使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则使ax﹣1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即a﹣1≥0，故a≥1；（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）min=f（1）=0．当0＜a≤，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数∴f（x）min=f（2）=ln2﹣，当＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=∈（1，2）．又∵对于x∈[1，）有f′（x）＜0，