高中数学苏教版2第1章统计．2回归分析 苏教版选修 回归分析 学案

回归分析的有关概念【例1】(1)有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4(2)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a＋ε(单位：亿元)，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝2，|ε|≤，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿．[解](1)①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，故正确．③解释的是回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的作用，故正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以发现两变量的关系．(2)由题意可得：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋2＋ε，当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤，∴≤eq\o(y,\s\up6(^))≤.故今年支出预计不会超过亿．[答案](1)C(2)1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程．2．由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．1.随机误差的主要来源．(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；(2)省略了一些因素的影响产生的误差；(3)观测与计算产生的误差．1．下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号)．①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程．[解析]只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程．[答案]④线性回归分析【例2】为研究拉力x(N)对弹簧长度y(cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：x51015202530y98(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．[思路探究]eq\x(作散点图)→eq\x(得到x，y有较好线性关系)→eq\x(代入公式求得线性回归方程)[解](1)散点图如图所示．(2)将已知表中的数据列成下表：xi51015202530yi98xiyi198354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)≈，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2273.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(∑xiyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1－6××,2275－6×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×＝.∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.本题条件不变，若x增加2个单位，eq\o(y,\s\up6(^))增加多少？[解]若x增加2个单位，则eq\o(y,\s\up6(^))＝(x＋2)＋＝＋＋，故eq\o(y,\s\up6(^))增加个单位．1．散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．2．求回归直线方程时，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．非线性回归分析[探究问题]1．已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好？x123y3①y＝3×2x－1； ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.[提示]观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．①作为回归模型最好．2．如何解答非线性回归问题？[提示]非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：【例3】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)身高x(cm)100130140150160170体重y(kg)(1)试建立y与x之间的回归方程；(2)如果一名在校男生身高为168cm，预测他的体重约为多少？[思路探究]先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．[解](1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110zx100130140150160170z作出散点图，如下：由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为eq\o(z,\s\up6(^))＝＋，则有eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)知，当x＝168时，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×168≈，所以在校男生身高为168cm，预测他的体重约为kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1eeq\s\up10(c2x)，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周围.2．有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：i1234567水深h(厘米)95流量Q(升/分钟)92134根据表中数据，建立Q与h之间的回归方程．[解]由表中测得的数据可以作出散点图，如图．观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q＝m·hn(m，n是正的常数)．两边取常用对数，则lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即为线性函数模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的数据表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈7，eq\o(a,\s\up6(^))＝－7，所以n≈，m≈.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi1－9－2324－17－939336492224255040668357951343163∑17于是所求得的回归方程为Q＝·.1．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点()x1234y1357A．(2,3) B．,4)C．,4) D．,5)[解析]线性回归方程必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即,4)，故选C.[答案]C2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关指数R2为B．模型2的相关指数R2为C．模型3的相关指数R2为D．模型4的相关指数R2为[解析]相关指数R2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．[答案]A1.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________这组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大．[答案]D(3,10)2.为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测是x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________．[解析]相关系数临界值＝，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的范围是,1]．[答案],1]3.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)对两个变量进行相关性检测；(3)求回归直线方程．[解](1)散点图如图所示(2)计算各数据如下：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝13500，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380r＝eq\f(1380－5×5×50,\r(145－5×5213500－5×502))≈，查得＝，r>，故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系．(3)eq\o(b