浙教版2023年七年级数学下册第5章分式5.5第1课时分式方程及其解法练习(含答案)

5.5分式方程第1课时分式方程及其解法知识点1分式方程的定义只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？(1)eq\f(x－4,0.2)－eq\f(x＋3,0.5)＝1.6；(2)2－eq\f(6－x,2)＝2x；(3)eq\f(8,x2－1)＋1＝eq\f(x＋8,x－1)；(4)x＋3＋eq\f(1,x＋1)＝4＋eq\f(1,x－1).知识点2解分式方程解分式方程的步骤：(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根；(4)写出答案．使分式方程的分母为零的根是增根，增根使分式方程无意义，应该舍去．[注意]检验是解分式方程的一个十分重要的步骤，切不可省略．2．解分式方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x)的步骤：(1)去分母，方程两边同乘________，得整式方程____________；(2)解这个整式方程，得x＝________；(3)检验：把x＝________代入最简公分母x(x－3)，得x(x－3)________(填“＝0”或“≠0”)，所以x＝________是原分式方程的解．探究一解分式方程[教材例2变式题]解下列方程：(1)eq\f(2,x)＝eq\f(3,x＋1)；(2)eq\f(x,3x－1)＝2－eq\f(1,1－3x)；(3)eq\f(x,x－1)－eq\f(2,x2－1)＝1.[归纳总结]解分式方程时，要注意以下几点：①不要忘记验根；②去分母时不要漏乘整式项；③当分式的分子是多项式时，去分母后不要忘记添括号．探究二利用分式方程的增根求字母系数的值[教材例题补充题]若关于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根，则m的值是()A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D．m＝0或m＝3[归纳总结]利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步骤进行：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)令最简公分母为0确定增根；(3)将增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值．探究三利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围[教材例题补充题][2023·荆州]若关于x的分式方程eq\f(m－1,x－1)＝2的解为非负数，则m的取值范围是()A．m>－1B．m≥1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠1[归纳总结]确定根的取值范围时，要去掉使分式方程产生增根的情况．[反思]下面是小马虎同学解分式方程的步骤，你认为他的解法正确吗？如果不正确，请指出错在哪里，然后写出正确答案．解方程：eq\f(2x,2x－1)＝1－eq\f(2,x＋2).解：原方程可化为eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x＋2,x＋2)－eq\f(2,x＋2)，即eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).方程两边约去x，得eq\f(2,2x－1)＝eq\f(1,x＋2).去分母，得2x＋4＝2x－1.所以此方程无解．一、选择题1．在方程eq\f(x＋5,3)＝7，－eq\f(3,x)＝2，eq\f(x＋1,2)－eq\f(x－1,3)＝4，eq\f(3x－9,x)＝1中，分式方程有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．把分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(1,x)转化为一元一次方程时，方程两边需同乘()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)3．2023·济宁解分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(x＋2,1－x)＝3时，去分母后正确的为()A．2＋(x＋2)＝3(x－1)B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3D．2－(x＋2)＝3(x－1)4．若x＝3是关于x的分式方程eq\f(a－2,x)－eq\f(1,x－2)＝0的根，则a的值是()A．5B．－5C．3D．－35．[2023·常德]分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(3x,2－x)＝1的解为()A．x＝1B．x＝2C．x＝eq\f(1,3)D．x＝06．分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(2,x＋1)＝eq\f(4,x2－1)的解是()A．x＝0B．x＝－1C．x＝±1D．无解7．下列分式方程中，有解的是()A.eq\f(x＋1,x2－1)＝0B.eq\f(x2＋1,x－1)＝0C.eq\f(x＋1,x－1)＝1D.eq\f(（x－1）2,x－1)＝18．对于非零的两个实数a，b，规定ab＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a).若1(x＋1)＝1，则x的值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)二、填空题9．解分式方程eq\f(1,x－1)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x2－1)去分母时，两边都乘______________．10．2023·湖州方程eq\f(2x－1,x－3)＝1的根是x＝________．11．若关于x的分式方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解为x＝3，则a的值为________．12．已知关于x的方程eq\f(a,x＋1)－eq\f(3,x2－1)＝1有增根，则a的值等于________．三、解答题13．解分式方程：(1)2023·连云港解方程：eq\f(2,x)－eq\f(1,1＋x)＝0；(2)2023·绍兴解分式方程：eq\f(x,x－1)＋eq\f(2,1－x)＝4.14．是否存在实数x，使得代数式eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)的值与代数式1＋eq\f(4,x－2)的值相等？15．若关于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解与方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，求a的值．16．当k取何值时，关于x的分式方程eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)有解？17．若关于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)－eq\f(3,x)＝1无解，求m的值．1．[规律探索题]已知：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…(1)根据这个规律写出第n个式子是________________________________________________________________________；(2)利用这个规律解方程：eq\f(1,x（x＋1）)＋eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＋…＋eq\f(1,（x＋9）（x＋10）)＝eq\f(1,x＋10).2.阅读下面一段话：关于x的分式方程x＋eq\f(1,x)＝c＋eq\f(1,c)的解是x＝c或x＝eq\f(1,c)；关于x的分式方程x＋eq\f(2,x)＝c＋eq\f(2,c)的解是x＝c或x＝eq\f(2,c)；关于x的分式方程x＋eq\f(3,x)＝c＋eq\f(3,c)的解是x＝c或x＝eq\f(3,c)；…(1)写出方程x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)的解：________；(2)猜想关于x的分式方程x＋eq\f(m,x)＝c＋eq\f(m,c)(m≠0)的解，并将所得解代入方程检验．详解详析教材的地位和作用本节是在学生认识和学习了分式及其基本运算的基础上介绍分式方程的解法，符合学生的认知规律．通过对本节内容的学习，能让学生体验转化这一重要的数学思想，同时，本节课的学习将为下一节课的学习打下基础教学目标知识与技能1.了解分式方程的概念和增根的概念；2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会对分式方程进行根的检验过程与方法通过分式方程的求解过程，初步体会数学研究中的转化思想情感、态度与价值观在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值教学重点难点重点解可化为一元一次方程的分式方程难点增根的概念和对验根必要性的理解易错点解分式方程的过程中容易忘记检验【预习效果检测】1．[解析]分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程．2．(1)x(x－3)2x＝3(x－3)(2)9(3)9≠09【重难互动探究】例1[解析]首先确定各分母的最简公分母，然后去分母，解整式方程．解：(1)方程两边同时乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x，解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘(3x－1)，得x＝2(3x－1)＋1，解得x＝eq\f(1,5).经检验，x＝eq\f(1,5)是原分式方程的解．(3)方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得x(x＋1)－2＝(x－1)(x＋1)．去括号，得x2＋x－2＝x2－1.移项、合并同类项，得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝1是原分式方程的增根．所以原方程无解．例2A[解析]方程两边都乘(x－3)，得2－x－m＝2(x－3)．因为分式方程有增根，所以x＝3，所以2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.故选A.例3D[解析]去分母，得m－1＝2x－2，解得x＝eq\f(m＋1,2).由题意得eq\f(m＋1,2)≥0且eq\f(m＋1,2)≠1.解得m≥－1且m≠1.故选D.【课堂总结反思】[反思]小马虎的解答不正确，错在“方程两边约去x”这一步．正解：原方程可化为eq\f(2x,2x－1)＝eq\f(x,x＋2).去分母，得2x(x＋2)＝x(2x－1)．去括号，得2x2＋4x＝2x2－x.解得x＝0.经检验，x＝0是原方程的解．【作业高效训练】[课堂达标]1．[解析]B方程－eq\f(3,x)＝2和eq\f(3x－9,x)＝1中的分母含有未知数，是分式方程．故选B.2．D3.D4.A5.A6.D7．[解析]D选项A中，当x＋1＝0时，x＝－1，而当x＝－1时，分母的值等于0，所以该方程无解；选项B中，因为x取任意值，x2＋1≥0恒成立，所以方程无解；选项C中，因为x取任意值，x＋1的值总不等于x－1的值，所以分式eq\f(x＋1,x－1)的值总不等于1，方程无解；选项D中，方程的解为x＝2.8．[解析]D由规定知，1(x＋1)＝1可化为eq\f(1,x＋1)－1＝1，即eq\f(1,x＋1)＝2，解得x＝－eq\f(1,2).∵－eq\f(1,2)＋1≠0，∴符合条件．故选D.9．[答案](x＋1)(x－1)10．[答案]－211．[答案]5[解析]因为关于x的方程eq\f(2（x－a）,a（x－1）)＝－eq\f(2,5)的解为x＝3，所以eq\f(2（3－a）,a（3－1）)＝－eq\f(2,5)，即eq\f(3－a,2a)＝－eq\f(1,5).解这个方程得a＝5.经检验，a＝5满足题意．12．[答案]－eq\f(3,2)[解析]方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．∵原方程有增根，∴最简公分母(x＋1)(x－1)＝0，∴增根是x＝1或x＝－1.当x＝－1时，a＝－eq\f(3,2)；当x＝1时，a无解．13．(1)x＝－2(2)x＝eq\f(2,3)14．解：根据题意，得eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(16,x2－4)＝1＋eq\f(4,x－2)，去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，去括号，得x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，移项、合并同类项，得8x＝－16，解得x＝－2.经检验，x＝－2是原方程的增根，故原分式方程无解．所以不存在满足条件的实数x.15．解：由eq\f(x＋4,x)＝3，得x＝2.∵关于x的分式方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1的解与方程eq\f(x＋4,x)＝3的解相同，∴把x＝2代入方程eq\f(ax,a＋1)－eq\f(2,x－1)＝1中，得eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1，即eq\f(2a,a＋1)＝3，解得a＝－3.经检验，a＝－3是方程eq\f(2a,a＋1)－eq\f(2,2－1)＝1的根，∴a＝－3.16．解：eq\f(6,x－1)＝eq\f(x＋k,x（x－1）)－eq\f(3,x)，方程两边同乘x(x－1)，得6x＝x＋k－3(x－1)，∴k＝8x－3.∵原分式方程有解，∴x≠0且x－1≠0，即x≠0且x≠1∴8x－3≠3且8x－3≠5，∴当k≠－3且k≠5时，原分式方程有解．17．解：去分母，得x(x－m)－3(x－1)＝x(x－1)，－mx－3x＋3＝－x，整理，得(2＋m)x－3＝0.∵关于x的分式方程eq\f(x－m,x－1)