2021-2022学年湖南省娄底市新泽中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省娄底市新泽中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知全集，集合,,则图中的阴影部分表示的集合为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B3.设分程和方程的根分别为和，函数，则（

）A． B．C． D．参考答案：A4.设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}参考答案：D【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为?U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．5.函数的图象如图所示，则的解析式可以为

（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略6.（理）若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x6项的系数为A.4

B．7

C．8

D．2参考答案：A7.已知M是抛物线上一点，F为其焦点，C为圆的圆心，则的最小值为（

）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B【分析】设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．【详解】解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．8.运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．i＞4？ B．i＜4？ C．i＞5？ D．i＜5？参考答案：D【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量P的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得：i=1，T=0，P=15满足判断框内的条件，执行循环体，i=2，T=1，P=5满足判断框内的条件，执行循环体，i=3，T=2，P=1满足判断框内的条件，执行循环体，i=4，T=3，P=满足判断框内的条件，执行循环体，i=5，T=4，P=此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为，即i=5时退出循环，故继续循环的条件应为：i＜5？故选：D．9.已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（）A．1 B． C．2 D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．【解答】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10.的三边长分别为，若，则△ABC是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．无法确定参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算定积分＝＿＿＿参考答案：12.若，则数列的前n项和=______参考答案：略13.已知x＞﹣3，则x+的最小值为．参考答案：4﹣3考点： 基本不等式．

专题： 等差数列与等比数列．分析： 由题意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答： 解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，当且仅当x+3=即x=2﹣3时取等号，故答案为：4﹣3．点评： 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．14.设x,y是正实数,且x+y=5,则+的最小值为.

参考答案： 本题主要考查利用基本不等式求最值,考查考生的基本运算能力.解题时,先令,将+转化为2++,然后利用基本不等式求解.利用基本不等式求最值,关键是满足“一正、二定、三相等”的条件. 令,则,a+b=x+y+3=8,所以+++= a+b++-6=2++=2+(a+b)(+)=2+(5++)≥2+(5+2)=,当且仅当a=,b=,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为. 15.（5分）已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=

．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 平面向量及应用．分析： ，均为单位向量，则它们的模都是1，要求向量|+3|的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展开后再利用平面向量的数量积运算求解．解答： ∵，均为单位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案为：．点评： 本题考查了平面向量的数量积的运算，解答的关键是利用转化，是中档题．16.在实数集上定义运算

，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是

参考答案：；根据“零元”的定义，，故17.球为棱长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，,则点的轨迹周长为

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为，且.(1)求角A的大小;(2)若,求△ABC的周长的取值范围.参考答案：略19.已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3﹣ax．（1）求f（x）的最大值；（2）若对?x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围；（3）证明不等式：（）n+（）n+…+（）n＜．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）≤f（1）=0，从而可求f（x）的最大值；（2）若对?x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等价于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，分类讨论，求出g（x）max，即可求a的取值范围；（3）由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0），取x=，可得ln≤﹣1=，从而可得（）n≤ek﹣n，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+1（x＞0）∴f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）≤f（1）=0，∴f（x）的最大值为0；（2）解：?x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，等价于f（x）max≤g（x）max，由（1）知f（x）max=0，当a≤0时，g（x）=x3﹣ax在x∈[1，2]时恒为正，满足题意．当a＞0时，g′（x）=3x2﹣a，令g′（x）=0，解得x=±，∴g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调增若≤1即0＜a≤3时，g（x）max=g（2）=8﹣2a，∴8﹣2a≥0，∴a≤4，∴0＜a≤3若1＜≤2即3＜a≤12时，g（x）在[1，]，[，2]而g（1）=1﹣a＜0，g（2）=8﹣2a在（3，4]为正，在（4，12）为负∴3＜a≤4当＞2而a＞12时g（1）＜0，g（2）＜0不合题意综上a的取值范围为

a≤4．（3）证明：由（1）知f（x）≤0即lnx≤x﹣1（x＞0）取x=，∴ln≤﹣1=，∴nln≤k﹣n，即（）n≤ek﹣n，∴（）n+（）n+…+（）n≤e1﹣n+e2﹣n+…+en﹣n==＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．20.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。参考答案：解析：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数则由于1故，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足，并说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得m2=r2（1+k2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．【解答】解：（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，则切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y=﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a=，b=，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a，b，r满足+=成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l与圆x2+y2=r2相切，则=r，即m2=r2（1+k2），①则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．则x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则⊥=0，∴x1x