2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳三都中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳三都中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在处取最小值，则a等于()A.1＋

B.1＋

C.3

D.4参考答案：C因为，所以，所以＝4，当且仅当，即时等号成立，所以，故选C．

2.为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为(

)A．240

B．160

C．80

D．60参考答案：A略3.方程的图象如图所示，那么函数的图象是（

）参考答案：C略4.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.若，则下列不等式：①；②；③；④中正确的不等式是（***）

A.①②

B.②③

C．③④

D．①④参考答案：D略6.不等式x2>3x的解集是

（

）A.{x|x>3}

B.{x|x<0或x>3}

C.{x|0<x<3}

D.R参考答案：B略7.曲线在点处的切线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A8.设命题，；命题：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B9.设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是A．B．C．D参考答案：C略10.曲线上的点到直线的最短距离是（

）A．

B.

C.

D.0参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．12.如图阴影部分是圆的内接正方形，随机撒粒黄豆，则预测黄豆落在正方形内的约________粒．参考答案：20013.已知则cosα＝________.参考答案：14.已知对任意正实数，，，都有，类比可得对任意正实数，，，，，都有

▲

．参考答案：由任意正实数，都有，推广到则.

15.已知0<x<6，则(6－x)·x的最大值是________．参考答案：9略16.已知椭圆与双曲线（）有相同的焦点F1、F2、P是两曲线的一个交点，则等于

.参考答案：17.以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=、c=2，进而计算可得结论．【解答】解：∵椭圆方程为：=1，∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），∴双曲线方程：中a=、c=2，∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5，∴双曲线方程：，故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）一条长椅上有7个座位，4个人坐，还有3个空位子，求：(1)至少有两人坐在一起，有多少种不同的坐法？(2)三个空位不都相邻，有多少种不同的坐法？参考答案：(1)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中4个人都不相邻的有A＝24种，故至少有两个坐在一起，有840－24＝816(种)不同的坐法．(2)利用间接法，没有限制的坐法A＝840种，其中三个空位都相邻的有A＝120种，故三个空位不都相邻，有840－120＝720(种)不同的坐法．19.设函数在及时取得极值．(1)求a,b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．[来参考答案：因为对于任意的，有恒成立，20.(本小题满分13分)已知x，y满足条件，求z＝x2＋y2的最大值与最小值．参考答案：解得点A的坐标(9,8)．所以因为原点O到直线BC的距离为所以21.（16分）抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.481.471.531.521.47其中直径在区间内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率；（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】分类讨论；综合法；概率与统计．【分析】（1）由条件利用古典概率及其计算公式，求得从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率．（2）①设一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果用列举法求得共有10个．②设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果用列举法求得共有4个，可得从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率．（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），而甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．由此求得甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．【解答】解：（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则p（A）==．所以，从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为．（2）①解：一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1、A2；A1、A3；A1、A4；A1、A5；A2、A3；A2、A4；A2、A5；A3、A4；A3、A5；A4、A5，共计10个．②解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：A1、A4；A2、A3；A2、A5；A3、A5，共有4种．

故从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为=．

（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．记“甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径”为事件C，则甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率为=．【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式，等可能事件的概率，属于中档题．22.请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A={a1，a2，…an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．解：对于集合中最大的数a4，因为a4×a4＞a4，3×a4＞a4，2×a4＞a4．所以，，都属于该集合．又因为1≤a1＜2＜3＜a4，所以．所以，，故a1=1，a4=6．问题2：已知数集A={a1，a2，…an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．参考答案：【考点】元素与集合关系的判断．【分析】可模仿问题1的解答过程，判断最大的数a4，由a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4便可根据条件得出a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1