高中数学第一轮总复习 第4章第30讲正、余弦定理及其应用 文

第四章三角函数、三角恒等变换及解三角形.正、余弦定理及其应用第30讲.三角形解的个数的判定【例1】..

已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：a<bsinA

a＝bsinA

bsinA<a<b

a≥b无解一解两解一解点评.【变式练习1】在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________.判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．..点评

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：.(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．.【变式练习2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，请判断△ABC的形状．..正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用..点评

本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用．应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的．在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法．在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．....测量距离问题【例1】如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．....点评

三角学源于测量实践，解三角形是三角实际应用的一个重要方面．求距离问题一般要注意：

(1)选定或创建的三角形要确定；

(2)利用正弦定理还是余弦定理要确定．....测量角度问题【例5】一艘缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h.若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．求追及所需的时间和角α的正弦值．..点评

测量角度问题中，首先应明确方位角的含义．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题．...1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______________...3.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米．甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_______分钟．..4.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b的值．

..5.一半径为4m的水轮如图，水轮圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点要多长时间？.....(2)基本题型：①已知一边和两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解．②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角．在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．..3．余弦定理

(1)基本题型：①已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解．②已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解．

(2)余弦定理是勾股定理的推广：判断C为锐角a2＋b2>c2，C为直角→a2＋b2＝c2，C为钝角→a2＋b2<c2...5．解三角形常见类型及解法在三角形ABC的六个元素(三个角A、B、C，三条边a、b、c)中要知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如：a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝π，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如：a，b，C)正弦定理余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝π求另一角．在有解时只有一解三边(如：a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝π求出角C；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如：a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝π，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.6.应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤：

(1)理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

(2)依据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；

(3)根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理解三角形，从而得到数学模型的解；

(4)检验上述所求的解是否具有实际意义，从而最终得出实际问题的解．.7．解三角形应用题常见的几种情况：