高中数学幂函数 新课标 人教 必修1(A)

幂函数的概念,图象与性质.目标:1)

理解幂函数的概念和性质2)

会画出五种幂函数的图象难点和重点:学会数形结合的思想概括出五种幂函数的性质.我们先来看看几个具体的问题:

(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付__________P=W元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积_____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________(4)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度________________p是w的函数S=a²

S是a的函数V=a³

V是a的函数V=t⁻¹km/s

V是t的函数以上的函数有什么的共同的特征？

答：形似：y=xª

一引入.以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。

上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1.从而我们归纳出幂函数的一般概念：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a为常数。.例1，判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（6）.函数图象的画法是：列表、描点、连线，那么幂函数也用此法。幂函数图象的画法

.幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数.

(1)y=x(2)y=x2(3)y=x3

(4)y=x1/2(5)y=x-1几何画板.定义域：值域：奇偶性：单调性：.定义域：值域：奇偶性：单调性：.定义域：值域：奇偶性：单调性：.定义域：值域：奇偶性：单调性：.定义域：值域：奇偶性：单调性：.幂函数的应用证明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2则x1/x2<1所以

所以

所以.

y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定义域值域奇偶性单调性

公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）x∈［0，+∞）时,增x∈（-∞，0]时，减增增增x∈[0，+∞）时，减x∈（-∞，0]时，减观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表.y=x

y=x²

y=x³

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

图象R

R奇

增

(1,1)(0,0)

linkR[0,+∞]

偶

x∈[0,+∞]

增

x∈[-∞,0]减

(1,1)(0,0)

linkRR奇增link(1,1)(0,0)[0,+∞]

[0,+∞]

非奇非偶

增

(1,1)(0,0)

link{x|x∈R,x≠0}

{y|y∈R,y≠0}

奇

x∈[0,+∞]

减

x∈[-∞,0]

减

(1,1)

linkBack.结合以上特征得幂函数的性质如下:所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点(1,1)>0时,(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）(2)图象在第一象限,函数是增函数.<0时,(1)图象都经过点（1，1）；(2)图象在第一象限是减函数;(3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限地接近,向右与X轴无限地接近.指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数.幂函数的应用证明:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2则x1/x2<1所以

所以

所以例2证明幂函数f(x)=x1/2在［0，+∞）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出ｆ(Ｘ1)<ｆ(Ｘ2).解:设f(x)=xa由题意得所以所以练习：已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.总结