2021-2022学年湖南省湘潭市湘乡花桥中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省湘潭市湘乡花桥中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为(

)A．

B．

C．D．参考答案：A略2.．复数的值是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.“”是“复数是纯虚数”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.不充分不必要条件参考答案：B略4.已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A．? B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜1}参考答案：D【考点】1D：并集及其运算．【分析】解不等式得集合N，根据并集的定义写出M∪N．【解答】解：集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜1}．故选：D．5.正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为．

．

．

．参考答案：解：．设多面体的外接球的半径为，依题意得，故其外接球的表面积为．故答案选6.把直线x－2y＋λ＝0向左平移1个单位，再身下平移2个单位后，与同线x2＋y2＋2x－4y＝0正好相切，则实数λ的值为

A．－13或3

B．13或－3

C．13或3

D．－13或－3参考答案：答案：C7.已知集合,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：因,则,故应选B.考点：不等式的解法与集合的运算.8.已知向量，，若∥，则m=A．－2 B． C． D．2参考答案：C据已知得：，，所以有，2m=1,m=.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题9.已知||=2，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量投影的定义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小．【解答】解：记向量与向量的夹角为θ，∴在上的投影为||cosθ=2cosθ．∵在上的投影为，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目．10.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种

B．24种

C．25种

D．36种参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的零点为－2，则a=________.参考答案：3【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，若函数f（x）＝log2（x+a）的零点为﹣2，则f（﹣2）＝log2（a﹣2）＝0，即a﹣2＝1，解可得a＝3，故答案为：3【点睛】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．12.平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=

．参考答案：2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=||?||?cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．解答： 解：由题意可得=||?||?cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．13.已知函数的图象关于直线x=1对称，则__________。参考答案：14.如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________.参考答案：615.函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的取值范围为

参考答案：16.数列{an}满足a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+mn，则=

．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先令n=1找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，即可得到结论．【解答】解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1﹣an=n+1用叠加法：an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+…+n=所以==2（）所以==2×=故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，属于中档题．17.极坐标系下，方程与方程表示的曲线的公共点个数为__________．参考答案：∵，，，∴直线方程为．又∵，，∴曲线方程为圆：．圆中心到直线的距离，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设和均为无穷数列．（1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式．（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）．参考答案：解：（1）①设，则设（或）当时，对任意的，（或）恒成立，故为等比数列；

……………………3分…………………1分当时，证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分证法二：，不是等比数列．…2分注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分．②设，对于任意，，是等比数列．………………3分

…………………1分（2）设，均为等差数列，公差分别为，，则：①为等差数列；……2分②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………1分若，；………………1分若，．………………1分③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………1分19.已知函数.（1）试求的最小正周期和单调递减区间；（2）已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，试求面积的最大值．参考答案：（1），，；（2）.

试题解析：（1）.∴.，，∴的单调递减区间为，.（2）.又∵，，，∴..当且仅当时取等号.考点：（1）三角函数的周期性及其求法；（2）余弦定理；（3）三角形中的面积计算.【方法点晴】本题给出三角函数的表达式，求函数的周期与单调区间，并依此求三角形面积的最值．着重考查了三角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.20.在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，（1）若，，，求角的度数；（2）若，，，求的值.参考答案：21.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（sinA,b+c），=（a－c,sinC－sinB）,满足=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设=（sin（C+）,）,=（2k,cos2A）（k>1）,

有最大值为3，求k的值.参考答案：解：（Ⅰ）由条件|p+q|=|p－q|，两边平方得p·q＝0，又p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即，又由余弦定理＝2acosB,所以cosB＝，B＝.（Ⅱ）m=（sin（C+）,）,n=（2k,cos2A）（k>1）,m·n=2ksin（C+）+cos2A=2ksi（C+B）+cos2A=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+

（k>1）.而0<A<,sinA∈（0,1],故当sin＝1时，m·n取最大值为2k-=3,得k＝.22.在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知atanA﹣ccosB=bcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设AD是BC边上的高，若，求的值．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A；（Ⅱ）由三角形的面积公式和余弦定理列出方程，化简后把作为一个整体求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵atanA﹣ccosB=bcosC，∴由正弦定理得，sinAtanA﹣sinCccosB=si