小学奥数 经典应用题 工程问题.题库版

工程问题三）

教学目熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；根据题目中的实际情况能够正确进行单“的统一和转换；工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位

“1”的用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单“”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工时间，工作效=工总量工时间，工作时=工总量工效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广应用于分数、百分数应用题；2-3-5.工程问题题库

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②在解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学画线段示意图．线段示意图能直观地揭量与“百率之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和理；④学会角度、多侧面思考问的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“作总量和时，住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假把整个工程看成一个单，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精工程问题方法与技巧（一）等量代换法【】甲乙队作一水要天成若队先4后再乙单挖天，挖这水的

．果条渠甲乙队独，需多天【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析法一：甲、乙合作完成工程的

需要30(天)．甲队先做4天比合作少2天)；乙队后1天，比合作多1(天)所以甲队8天相当于乙队做天，甲、两队工作效率的比是4:8．甲队单独工作需要：90()；乙单独工需要：45(天)法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的

，而题目中给定“队先挖天再由乙队单独1”相当于甲乙两队先合作，然后再由乙队单独天，于是两队合作天可完成工程的

24，就是说乙队12天了，于是乙队的工作效率为1545

，那2-3-5.工程问题题库

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么甲队的工作效率就是

90

，即甲队单独做需天乙单独做需要45天工程问里面也经常用到比例是为工程题的基本数量关系是乘法关系其实这一点是与工程习惯无关．【答案】甲队单独做需天乙单独做需要天【】一工，、、三合需13天成如果休天乙要做天或由、两合1天问这工由独需要少？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析丙2天工作量，相当乙4天工作量.丙工作效率是乙的工作效率的（倍、乙合1天，与乙一也就是甲做1天，相当于乙，甲的工作效率是乙的工作效率倍乙天，甲只要

26天，丙做13天乙要天，而甲只要天们共同做13的工作量，由甲单独完成，甲需1

26天【答案】天【】抄份稿甲天工效等乙丙人天工效的和丙工效相甲乙每工效和如人合只8天就成那乙人独需多天能完？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因1此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；于丙抄写天相当于甲乙合抄一天，从而丙天抄写书稿的，丙每天抄写书稿的

1；于是可知乙每天抄写书稿的--＝.以乙一人单独抄写需要1÷

=24天能完成．【答案】24天【】一工，独6天成甲3天工量乙天完．队做天由队做，要几才完？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天除去自己完成的天外，剩下工作量甲需要4天成，乙的工作效率是甲的

4，因此甲4天成的量，乙需4天成，除去与甲合作的2天外，乙还要332-3-5.工程问题题库

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做

10天。3法二：甲的工作效率为

1，所以乙的工作效率为．队合作2天后乙队独做还要

1天能完成．83【答案】

天【】打一书，按定间提天成乙则超规时3天能完．果、合2天，下由独，么好规定间完．、两合需几完？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析根据甲规定时间可提前完成，乙则要超过规定时天才能完成．如果甲、乙合做2天剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完，可知甲做2天的工作量等于乙做3的工作量，所以完成这项工作甲所用的时间是2:另由甲乙单独用的时间比甲多天所以乙独做需要的天数是：天．

()，独做需要15)，、合做需要【答案】(天)【】一工，果先天那乙着天以成如甲先天，么接做8天以成如甲乙作那多天以成【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：甲天

乙2天乙2天甲15天甲20天

乙天从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙天工作量相等，即甲天工作量等于乙天的工作量于是可用乙作4天等量替换题“甲作5天这条件过此替换可知乙单独做这2-3-5.工程问题题库

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一工程需要2024(天)成，即乙的工作效率是

．11又因为乙工天工作量和甲工作5天工作量相等的工作效率是乙的5

，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间1

1)(．3【答案天【固一件作先6小乙着小时以成甲先做小时乙接做6时可完如果做3小后乙着，需要少时成【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析根据题意可知，甲小的工作量等于乙做1时的工作量，可见甲做小时的工作量等于乙做小时的工作量．那么可以用乙做时来代换甲做1小，可知乙完成全部工作需小时，甲先做的3小相当于乙做了9小，所以乙还需要30小时．【答案】21小【固一份件果抄小时乙抄10小可抄如甲8小时抄小时可抄在先2小时剩的、合，需要小才完？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析由题意可知，甲、乙合作的效率为

；将甲抄小，乙抄小，转化为甲乙和抄小时，乙单独抄5小，则乙单独工作的效率为

1，253所以甲单独工作的效率．甲、乙两人的工作效率之比为:3:．2525甲先抄2小，这小的工作量如果两合作，需要3小，所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需1小．【答案】

小时【】一工，先若天由继做丙工完时前帮，工完离，6果按划成务其乙了程量一．果有的参，由接甲一做下，比划迟3天完；果由单做则比划前6天成还道的作2-3-5.工程问题题库

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效是的3倍问计规的期多天【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，北大附中，资优博雅杯【解析丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成

时离去，所以乙、丙合做了全部工程的；果丙不310来帮忙，这的工程由乙独做，那么乙完成这的程时间将比乙、丙合做多用天由于乙的工3效是丙的工效的倍乙、丙合做的工效之和为乙独做的倍那么乙独做所用的时间为、丙合做所用时间的

4倍，所以乙、丙合做这的工程所用的时间为天．那么乙的工效为1(1)

．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为20天，中有天乙、丙在合做，另外天(分成了前后两段乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的

7，据题意，这的程如果由甲独做，只需要天那么甲的工效为

24

甲成全部工程需要24天由于全部由甲独做可比计划提前6天成，所以原计划工期是2430天【答案30（二）比例法【】一零平分甲乙人时工两工作小时共成批件。已甲乙工作率比，么还几时能成配的务【考点】工程问题【难度星【型】解答311【解析乙5小时完成总工作量的；每小时完成总工作量的

；乙需要完成的总工作量为

；乙要完成这个任务还需要的时间：小时）2【答案5时【】一工，天了后乙入来，、一又了，时也入甲乙、一起完已乙丙工效的为3：5，个程，、工的数比为2：，题中形做整工需少?【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析方法：先把整个工程分为三个阶段Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为

又、丙工作的天数之比为(ⅡⅢ)：Ⅲ=2，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶所需的时间相等．即甲、乙合作完成的

的工2-3-5.工程问题题库

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1程与甲乙丙合作完的工程所需的时间相等所对于工作效有甲+乙)×2=(4+乙+)+=丙有丙-=

160

.

又有乙的工作效率的比为知的工作效率为,丙的工作效率为：

那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

11))天.120120方法二：显然甲的工作效率为

的作效率3，么丙的工作效率为x．以有乙工作的天

数为

丙8)26

的天数为

x

且有

)

x

)

111.x),解以乙的120工作效率为

丙的工作效率为高那么这种情形下完成整个工程所需的时间：118))

天【答案】天【】甲、、三村备作筑条路他原划按9:8:3派，因村出，他担任由、两分，丙出资3元，果村派45人，村派人完了修任，甲乙村应得村付资多元【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析丙村的元是不是应该按照甲乙村派出的人数比即9:7来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。甲、乙两村共派出45人而这80人按照原计划应是甲村派0

人乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出536人乙村帮丙村派出了32人，所丙村拿出的360元，也应该3:1来配甲、乙两村，所以，甲村应分得270元，乙村应分得36027090元【答案90【】某工用种号卡运土．知、、丙种车重之为7:6，速比6:8:9，运土的程比5:14:14，三车辆之为7．程始，、两种全投运，但种只一投直到1天后另一甲车投工一干天成务那，种完的作与工量比多？2-3-5.工程问题题库

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【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，二中【解析由于、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为，所以它们运1次所需的时间之比为

14149::::，同时间内它们运送的次数比为：::．0天，甲车只有一半投入使用因甲乙丙的数量之比为5:5:由三种卡车载重量之比为10:76，所三卡的总载重量之比为::．那么三卡车在10天内的工量之为：2:7

天由于甲车全部投入使用，所以在后天的【答案】

工作量之为20:27．所以在这天内，甲的工作与总工作量之比：40．(272779【】甲、、三人包项程发他工共1800元三完这工的体况：、乙人作天成工的，因甲事，乙丙合2天完余工的，后三合作天成这工，完量多来劳动酬甲乙丙得少？【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，清华附中1【解析根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为；1乙、丙两人的工作效率之和为(1)；11甲、乙、丙三人的工作效率之和为(1))．410别得甲的作效率为

11，乙作率为6018180

丙工作为17，甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：184560180

，丙完成的工程量为：

142，人所完成的工作量之比为::33:91:56．45所以，甲应1800

元乙应得330元丙应得330560元．3333【答案】甲应330元乙应得910元，丙应560元【】放满个池，果时开1，2号阀，分可完；果时开1，3号阀，分可完成如单打1号阀，20分钟可完；么如同打，号2-3-5.工程问题题库

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阀，分可完。【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，学而思杯6年【解析单独打开1号，20分可以完成，说明1号每分钟完成

，而同时打开1号门分钟1可以完成说2号门每分钟完成而现在同时打开3号门分钟可以完成，20说明号闸门每分钟完成钟。

11，同时打开3号门，需1分20603060【答案分【】一个箱用甲乙丙个管里水若开、两，管注18吨水，箱满若开、两，管入27吨时水才．知乙每分注量甲每钟水量2倍．该箱多容多吨？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析于乙管分钟注水量是甲管每分钟注水量的

倍那么甲管注入吨的间是乙管注入36吨的时间，则甲管注入吨水的时间与乙管注入吨水的时间比是274:3．么在这两种情况下丙管注水的时间比4:3，且前一种情况比后一种情多注入2吨水，则甲管注入18吨时，丙管注入吨．所以该水箱最多可容纳水1吨【答案54【】一个箱甲、、三进管如只开、两，管入30吨时水箱满如果打乙丙管乙注水时水才．知管分注量甲倍，该箱满可纳吨．【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析方法一：乙注入吨水的时间相当于甲注入

吨水的时间，甲注入30吨，丙可注水量为x，么40吨丙注水量为

40以得9030吨）3030为水箱容量。方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入0吨；如果只打乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨由乙管每分钟注水量是管的1.5倍所以在甲管注入吨水的时间内乙2-3-5.工程问题题库

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管可以注入45吨，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入4吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的

倍可以假设打开乙、丙两管的情况下丙管注了吨，则打开甲丙两管的情况下丙管注了

9吨，所以有a40，到880所水箱注满时容840120吨在得到第一种情况所用间是第二种情况所用时间的倍后，可假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的倍，1也就是与第一种情况所用时间相同时入的水量也是水箱容积的倍比第一种情况多了倍．然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注水，比甲管多注1了30吨所以这吨就是水箱容积的，么水箱容积120吨8【答案120吨【】有甲乙个相的立体箱高为厘米在面分有水和B．A孔和B孔距面厘米30厘，两排速相．在相速度起两箱水并过道A孔排的直流乙．分钟两箱时满如关两，接空箱注需分钟既水排水只水

A孔

10厘米20厘米

相当于只注水既注水又排水

20厘米10厘米只水

30厘米

只注水

B孔

30厘米甲

乙【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析．如图所示，当注水没有超3厘高度时，水没有达、B两的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；当水达到30厘高度而又没有达到厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排；当甲箱内的水达到厘高时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同2-3-5.工程问题题库

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时A孔排出的水也流入乙箱，由于、B两排水速度相同，所以A孔出、流入乙箱的水与孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水．由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都10厘高度的水，那么甲箱第二个只注水阶即注满20米高度水的阶段所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段(注满10厘米高度水的阶段)所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比20:10，见注水速度是排水孔排水速度的倍．假设只注水注满10厘高度水所用的时间为1份对于甲箱来说只注水的时间为5份既注水又排水的时间为，所以注满甲箱的总时间，为70分钟，那么为分钟．则关闭排孔只注水的情况下，将空水箱注满需0分钟．【答案】分钟【】如图有个方体箱在一侧相高的方三大相的水孔用个水管空箱水若个水全闭则要个时水灌；打一出孔则要小分将箱满若开两出孔则要7钟水灌．么若个水全开则要多分才将箱满【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析设进水管每小时进水单1，那么水箱灌满后水的总量1，水管每分钟进水量为

．由于打开一个出水孔则需要用分将水箱灌满说明一个出水孔在分内的出水量等于进水51钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为：，理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为：

，于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了65分水，所以一511个孔每分钟出水量为(那开一个孔的实际出水时间为：35(12钟这说明在前面的6535分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度此之前由于水2-3-5.工程问题题库

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箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，进水管进水的同时出水孔开始出水．

1，即在进水管进了的后出水孔才开始出水，此211时还需进的．以，开三个出水孔所需的时间为30分钟)．260【答案82.5分【固一个方水侧相高的地开若大相的水现一进管空水灌，若水全闭灌水需用个时若开一出孔灌水则要分钟若打两出孔灌水需用70分．想够水槽满最可打个出管经分钟能水灌．【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析进水管每分钟灌进水槽容积的

而开一个出水孔和开两个出孔的情况下水孔出的水分别是水槽容积的

4111)和．两次出的水之比是::5，明水606066得放到孔所在的高度才能开始出水．设进水分后开始出水，则有(64):[2(70)]，得．那么一个出水孔的出水速度为

(140)360

．1要想能够把水槽灌满，由于所以最多可以打开5个水孔．打开个出水孔时，灌满水槽所需的时间为4

(钟)【答案160分【】有一敞的立体箱在侧一高的等处两排孔A和B，知孔排水速相且持变现从箱面速水如打孔关闭孔，么过分可将箱满如关A，开B，需22分才将箱满那两都开经分才将箱满【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，人大附中【解析本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同，只有当水上升到其高度后排水孔才开始排水，在此之前则是不排水的．(法方程法．设进水速度为，水速度为，方体水箱的容积为1则2-3-5.工程问题题库

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1)3y)解此类方程，可采用换元法．设，xy

，式可以变形为：1b20223

，解得：．b24所以

，y．2411所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：24)分钟．3318(法2)设单开进水管满水箱的所需进水时间为分，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的所的进水时间为y分钟．则

2xy22

，解得：x，．11以水箱的看“，则进水速度为，出水速度为，所以灌满水箱最上层的需12分．24那么总共需26(分)．(法图示法．如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管，比较两图，可看出两图中上、下两格的时间完全相同．则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22分钟．所以假左图三格全—即开进水管注满水箱时间为20分即进水管的进水速度为

；再假设右图三格全—即开进水管与一个出水管注满水箱，时间为24分，则其水2-3-5.工程问题题库

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速度为

1，则一个出水管的出水速度为．187211所以，同时打开两排水管的进水时间为：)(分钟．3【答案】分钟【固一个有的箱，其面高高的置有个水，们水的度同保不3变现以定速从面水注．果开关B那分可水注；果关A打开B那分可水注．果个都开那需多分钟能水注满【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析根据意可知，要注

水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用40分，那么不开出水孔时注满水箱30分如一直开一个出水孔需要分．明每分钟注水量为

，一个孔每分钟排水量为．4511如果两个孔都打开，需045分．【答案55钟【】有一长体水水放，面一条地平的缝当箱的漫裂时裂会以分钟立分的度外水在一每钟水1立方分米的水龙头往内注水，注一半时好了40分钟再50分钟注满。如果用两个每分钟注水1方米水头往注水，满个箱要分。【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，第2届走美杯，6年，决赛【解析如裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水(1-0.4)×50=30(方分)所以水箱总容积为30×2=60(方分米。前40分内，裂缝向外渗水立分米)渗掉这10立分米水，需时10÷0.4=25(分，那么没渗水的时间为分。所以裂缝在水从下往上的用两个水龙头注水需要时间

处。2-3-5.工程问题题库

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16010.4（）4如裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水1×40=40(立方分米)所以水箱总容积为40×2=80(方分米。后50分内，裂缝向外渗水立分米)渗掉这10立分米水，需时lO÷0.4=25(分)那么没渗水的时间为)。所以裂缝在水箱从下往上的65两个水龙头注水需要时间

处。

137800.4（钟）16878（三）列表法【】放满个池如同打，，3阀，20分可完；果时开，3，4阀门则分钟以成如同打，，号阀，钟以成如同时开，，4号门则30分可完．：果时开1，2，3，4号门那多少钟以完？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析根据条件，列表如下（示阀门开，画表阀门关闭○×○○

○○×○

号○○○×

×○○○

工作效率从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这阀门的工作效率之和为：11，那么同时打开这个阀门，需1（钟28301818【答案18分钟2-3-5.工程问题题库

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【】某工如由第、、小合需12天能成如由一三五队干要7天才完；果第、、小合需天能成如果第、、小合需天能成．么五小一合需多天能成项程？【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析首先将各个小队之间的组合列成表：一队○○×○

二队○×○×

三队○○×○

四队××○○

五队×○○×

工作效率从表中可以看出一三在中各出现3次二队四五各出现2次那么，如果将第二、四五队的组合计算两次那各种组队的工作效率和中5个队都被计算次所五个小队11的工作效率之和为：，个小队一起合干需要1天6【答案】天【固A、、CD、E五人一工，、B、C、D四人起干要天成若BC、D、E人起需要天工若A、E人起需12天完工那，E一单干要天工【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析从题中可以看出A、CD四每天完成总量的、C、D、E四人每天完成总量的，11两每完成总量的可E一每天完成总量的所E一单12648独干需1

天【答案】天【】某市一工程行开标有、、三公参竞．家公的标件下公名甲乙丙

单完工所天

每工/万⑴果想快工应选哪家司作需多天成？2-3-5.工程问题题库

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⑵果想量低资本应选哪家司作完时付工多元【考点】工程问题【难度星【型】解答【关键词】，十三分，入学测试【解析⑴如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家司．1由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为、、，以应该选择甲、乙1530这两家公司合作．甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间1)天；⑵果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．由于甲乙丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别.6万元3.857万元1.7万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作．1甲、丙两公司合作需要)7.5才能完成工程，完工时要付的工资为：(5.67.5547500元【答案547500元【固一项程若甲工队独需4个月成每要资元若乙程单做项工需个月成每耗5万元⑴问、两程合需个完？资少元⑵要最个完此工即可请设一方，保按完任，最限度省金【考点】工程问题【难度星【型】解答【解析⑴、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的

、，么甲、乙合作所需时间为：)2.4个；甲、乙合2.4个所耗资金为(92.4(万)⑵工程队完