电路分析基础教案(第9章)

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

第三篇动态电路的相量分析法和s域分析法1第九章正弦稳态功率和能量三相电路

以上讨论的相量分析法，把电阻电路的分析方法通过类比运用到正弦稳态电路的分析中。

但是，相量分析法却不能解决所有问题，主要表现在功率、能量，频率响应和互感等三个方面。

这些问题将在第九章——第十一章中陆续讨论。2第九章正弦稳态功率和能量三相电路

Ůİ=？UI=?

对于纯电阻单口网络，在端纽上电压和电流的乘积等于该单口网络消耗的功率。

但对于不含电源的单口相量模型，如图所示。

其端纽上电压相量和电流相量的乘积代表什么？是单口网络消耗的功率么？3第九章正弦稳态功率和能量三相电路

对于动态元件，由于其储能特性，其正弦稳态功率、能量等问题要比电阻电路复杂，不是简单的类比就能得到解决的，需要引入一些新的概念。

正弦稳态电路的功率和能量是随时间变化的饿，但通常感兴趣的只是它们的平均值：即电路中消耗功率的平均值和储存能量的平均值。三个概念：平均功率、无功功率、功率因素。4第九章正弦稳态功率和能量三相电路

§1有关能量、功率的基本概念

§2基本概念在sss电路中的运用

§3两个应用问题

§4三相电路目前，在动力方面应用的交流电，几乎都采用三相制。三相电路实际上是正弦电流电路中的一种特殊类型。5第一节基本概念

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

6

§9-1

基本概念

有关功率和能量的概念已在前面（第一章和第五章）学习了。我们将在此基础上讨论正弦稳态时的特点，因此本小节将对功率和能量的基本概念做一简单的回顾。7

§9-1

基本概念

吸收—消耗或储存。1、功率和能量的方向（1）电荷移动，必有能量交换。

对某一二端元件或单口网络，能量w或是流入（吸收）或是流出（提供）。8

§9-1

基本概念

（2）瞬时功率p

定义：瞬时功率p为能量对时间的导数，是由同一时刻电压与电流的乘积来确定的，即：p(t)=dw/dt=u(t)·i(t)（3）能量w在时间区间t0、t1内，给予二端元件或单口网络的能量为：w(t0,t1)=∫t0t1u(t)i(t)dt=w(t1)-w(t0)9

§9-1

基本概念

（4）瞬时功率p和能量w方向

若u、i为关联参考方向，且p参考方向为流入方向，则p>0（吸收），p<0（提供）。p的方向即w的流动方向：选p参考方向为w的流入方向，则：p>0，吸收w；p<0，

提供w。10

§9-1

基本概念

2、电阻元件R的功率和能量关系

对于电阻元件，流入的能量将变换为热量而消耗，不可能再行流出。

因此，对电阻元件，p(t)不可能为负。耗能元件R以先研究p为方便。11

§9-1

基本概念

贮能元件C：贮能元件L：3、动态元件电感L、电容C的功率和能量关系

对于动态元件，流入的能量可以被储存起来，而在其他时刻再行流出，送回外电路。

储能可以增加或减少，但储能不可能为负值。12

§9-1

基本概念

因此，p(t)可为正、负，但动态元件的储能却总为正值。

L、C以先研究w为方便。13

§9-1

基本概念

线性时不变R、L、C的功率和能量的一般关系式二端元件的VCR功率表达式能量表达式吸收功率消耗功率流入能量流出能量u=Ri或i=GuR2i=Gu2R∫t0t1i2dt或G∫t0t1u2dt0i=Cdu/dtCu(du/dt)=½C/2（du2/dt）0½C[u2(t1)-u2(t0)]½Cu2u=Ldi/dtLi(di/dt)=½L/2（di2/dt）0½L[i2(t1)-i2(t0)]½Li214

§9-1

基本概念

本节要点：（1）二端元件和单口网络的功率和储能的关联参考方向。（2）R、L、C的功率和能量的一般关系。15第二节电阻的平均功率

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

16

§9-2电阻的平均功率

1、瞬时功率p

设i=Imcos(ωt+Ψ)，则由欧姆定理得：u=Ri=RImcos(ωt+Ψ)=Umcos(ωt+Ψ)。

则电阻吸收的瞬时功率为：p=UmImcos2(ωt+Ψ)=(1/2)UmIm{1+cos[2(ωt+Ψ)]}=UI{1+cos[2(ωt+Ψ)]}。其中：U=Um/21/2，I=Im/21/2。

由此可见，电阻吸收的瞬时功率是随时间变化的，变化频率是电流或电压频率的两倍。p是一个非正弦周期量。17

§9-2电阻的平均功率

由于：i=Imcos(ωt+Ψ)，u=Ri=RImcos(ωt+Ψ)=Umcos(ωt+Ψ)，p=UI{1+cos[2(ωt+Ψ)]}。由于电压u和电流i同相：当u增加时，i也增加，p=ui也随之增加；当u＞0时，i＞0；而当u＜0时，i＜0；因此恒有p＞0。

因此，虽然瞬时功率随时间变化，但其值p≥0，也就是说电阻始终消耗功率。18

§9-2电阻的平均功率

ωt/raduiu,i,pp0π/23π/2UmImUI下图为初相Ψ=0时的波形图。i=Imcosωt，u=Umcosωt，p=UI(1+cos2ωt)。

由表达式和上图可见，电压或电流变化一个循环，功率变化了两个循环。p是一个非正弦周期量。19

§9-2电阻的平均功率

2、平均功率P

瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率。记为P，即：

从前面所示的波形图中，也可以直接从一个（或几个）周期内T求出功率波形所覆盖的面积为：UmImT/2。

得出平均功率为：P=（1/T)UmImT/2=UI20

§9-2电阻的平均功率

通常所说的功率，都是指平均功率。例如，60W的电灯泡是指其消耗的平均功率。

平均功率又称为有功功率。

如果把电阻元件有效值电压、电流之间的关系U=RI代入，则有：P=I2R

或

P=U2/R=U2G

上式与直流电阻电路中计算电阻消耗功率的式子完全相同。21

§9-2电阻的平均功率

由此可见，如使用有效值，那么电阻元件消耗的平均功率可以按直流电阻电路中所用的公式来计算。

因此，在有关正弦稳态功率（能量）的计算中，常使用有效值。注意：平均功率的大小与电流的频率及初相角无关。22

§9-2电阻的平均功率

本节要点：（1）电阻的瞬时功率；（2）电阻的平均功率、有用功率。23第三节电感、电容的平均储能

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

24

§9-3电感、电容的平均储能

1、对于电感元件

设电感电压为：u=Umcos(ωt+Ψ)。

考虑电感电流滞后电压90°，则电流为：i=Imcos(ωt+Ψ-90°)=Imsin(ωt+Ψ)，式中：Im=Um/XL=Um/(ωL)。25

§9-3电感、电容的平均储能

（1）瞬时功率pLpL=u·i=ImUmcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=2UIcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=UIsin[2（ωt+Ψ)]

电感吸收的瞬时功率pL是一个频率为正弦电流或电压频率2倍的正弦量，在正弦的一个周期内，吸收-释放能量2次。26

§9-3电感、电容的平均储能

ωt/raduiu,i,pp0π2π能量流入电感能量流出电感

瞬时功率以2ω的频率在横轴上下波动，如下图所示。27

§9-3电感、电容的平均储能

0~T/4期间，u＞0，i＞0，因此，p＞0，电感吸收功率。在此期间，电感电流由零逐渐增大到最大值。T/4~T/2期间，u＜0，i＞0，因此，p＜0，电感提供功率。在此期间，电感电流由最大值逐渐减小到零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入电感能量流出电感28

§9-3电感、电容的平均储能

T/2~3T/4期间，u＜0，i＜0，因此，p＞0，电感吸收功率。在此期间，电感电流由零逐渐增大到最大值。T/4~T/2期间，u＞0，i＜0，因此，p＜0，电感提供功率。在此期间，电感电流由最大值逐渐减小到零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入电感能量流出电感29

§9-3电感、电容的平均储能

电感不消耗能量，它只是与外电路进行能量交换，故平均功率P=0。

因此，通常所说的电感不消耗功率就是指它吸收的平均功率为零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入电感能量流出电感30

§9-3电感、电容的平均储能

（2）瞬时能量wL代入正弦量得：wL=(1/2)LIm2sin2(ωt+Ψ)利用三角公式sin2x=[1-cos(2x)]/2，上式可改写为：wL=(1/2)LI[1-cos2(ωt+Ψ)]

瞬时能量wL随i2(t)波动，贮能时而增长、时而减少，变化频率为2ω。wL≥0。31

§9-3电感、电容的平均储能

（3）电感平均能量ωt/radwLwL=Li2/20π2πWL=LI2/232

§9-3电感、电容的平均储能

（4）pL周期性变动当pL为正值时，能量流入电感，电感储能增长；当pL为负值时，能量流出电感，电感储能减少。正、负抵消，平均功率PL=0。ωt/raduiu,i,pp0π2π能量流入电感能量流出电感ωt/radwLwL=Li2/20π2πWL=LI2/2通常所说电感不消耗功率，就是指它吸收的平均功率为零。33

§9-3电感、电容的平均储能

QL=UI=ωLI2=2ωWL

电感的无功功率等于其储能平均值的2ω倍。储能越多，能量每秒往返的次数越多，则能量往返的规模越大。定义：，单位为乏(var)。（5）无功功率QL

在电工技术中，引入无功功率的概念，反映外电路与L能量往返的规模。34

§9-3电感、电容的平均储能

2、对于电容元件设：u(t)=Umcos(ωt+Ψ)。考虑电容电流超前电压90°，则电流为：i=Imcos(ωt+Ψ+90°)=-Imsin(ωt+Ψ)，式中：Im=Um/XC=(ωC)Um35

§9-3电感、电容的平均储能

（1）瞬时功率pCpC=u·i=-ImUmcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=-2UIcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=-UIsin[2（ωt+Ψ)]

电容吸收的瞬时功率pC是一个频率为正弦电流或电压频率2倍的正弦量，在正弦的一个周期内，吸收-释放能量2次。36

§9-3电感、电容的平均储能

（2）瞬时能量（3）平均能量（4）平均功率零。37

§9-3电感、电容的平均储能

QC=-UI=-ωCU2=-2ωWC反映外电路与C能量往返的规模。

电容的无功功率为负，其值等于其储能平均值的2ω倍。储能越多，能量每秒往返的次数越多，则能量往返的规模越大。定义：（5）无功功率38

§9-3电感、电容的平均储能

例题：如图所示正弦稳态电路，已知：R1=5Ω，R2=3Ω，uS(t)=10(2)1/2cos(5t)V，L=1H，C=0.05F，求电阻R1、R2消耗的平均功率和电感L、电容C的平均功率。R2R1+uS-LC解：首先求出XL=ωL=5Ω，XC=-1/(ωC)=-4Ω，ŮS=10∠0°(V)，39

§9-3电感、电容的平均储能

因此，画出电路的相量模型，如图所示。因此，有：İ1=ŮS/(R1+jXL)=10∠0°/（5+j5）=10∠0°/7.07∠45°=1.41∠-45°(A)，3Ω5Ω+ŮS-j5Ω-j4İ1İ2+ŮC-İ2=ŮS/(R2+jXC)=10∠0°/（3-j4）=10∠0°/5∠-53.1°=2∠53.1°(A)，UC=İ2(jXC)=-j4×2∠53.1=8∠-36.9°(V)，40

§9-3电感、电容的平均储能

3Ω5Ω+ŮS-j5Ω-j4İ1İ2+ŮC-所以，电阻消耗的功率为：P1=I12R1=1.412×5=10(W)，P2=I22R2=22×3=12(W)，所以，电感的平均功率为：PL=LI12/2=1×2/2=1(J)，电容的平均功率为：PC=CI22=0.05×82/2=1.6(J)，电源输出的平均功率P=UI=P1+P2?41

§9-3电感、电容的平均储能

本节要点：（1）电感的瞬时功率、平均功率、无功功率；（2）电容的瞬时功率、平均功率、无功功率。42第四节单口网络的平均功率

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

43

§9-4单口网络的平均功率

前面讨论了三种基本元件正弦稳态的平均功率：电阻元件的平均功率可由它两端电压有效值和通过电流有效值的乘积来计算；电感和电容元件平均功率则为零。

对于由这些元件组成的单口网络，根据功率守恒，单口网络的平均功率，可先分别计算网络内部各个电阻的平均功率，再求总和，可得整个网络的平均功率。44

§9-4单口网络的平均功率

但是，如果单口网络的结构复杂或内部情况不明，就有必要知道如何从其端口电压、电流去计算平均功率。

问题是，平均功率是否等于端口电压有效值和电流有效值的乘积？45

§9-4单口网络的平均功率

解：-j0.624Ω例题：(有效值)相量模型如图所示。求单口网络的P和UI，两者是否一致？46

§9-4单口网络的平均功率

单口网络的电压、电流乘积：其值并不等于P。

单口网络的P即应为其内部电阻的消耗功率，故：47

§9-4单口网络的平均功率

∵U包含对P并无“贡献”的UL、UC在内，UI值必然>P值！为什么UI值并不等于P？Ů=ŮR+ŮL+ŮC=ŮR+ŮX48

§9-4单口网络的平均功率

1、单口网络的瞬时功率设端口电压为u(t)=Umcos(ωt+Ψu)，端口电流为i(t)=Imcos(ωt+Ψi)，则单口网络的瞬时功率p为：p(t)=u(t)i(t)=UmImcos(ωt+Ψu)cos(ωt+Ψi)利用三角公式：cosx·siny=[cos(x-y)+cos(x+y)]/2p(t)=UIcos(Ψu-Ψi)+UIcos(2ωt+Ψu+Ψi)49

§9-4单口网络的平均功率

当u＞0，i＞0，或u＜0，i＜0时，单口网络吸收功率，这时，p＞0；当u＞0，i＜0，或u＜0，i＞0单口网络提供功率，这时p＜0；i＞0u＜0p＜0i＜0u＜0p＞0tuip0i＞0u＞0p＞0i＜0u＞0p＜050

§9-4单口网络的平均功率

这表明单口网络中的动态元件与外电路有能量交换；

在一周期内，单口网络的吸收功率大于提供功率，因此其平均功率不为零。i＞0u＜0p＜0i＜0u＜0p＞0tuip0i＞0u＞0p＞0i＜0u＞0p＜051

§9-4单口网络的平均功率

2、单口网络的平均功率单口网络的平均功率P为：P=(1/T)∫0Tp(t)dt=UIcos(Ψu-Ψi)

不论网络内是否含有独立源，均可应用上式计算网络的平均值。52

§9-4单口网络的平均功率

在一般情况下，若单口网络端口电压与端口电流的相位差角为ψ，则电阻部分的电压应为Ucosψ，计算平均功率公式应为:P=UIcosψ

这是正弦稳态电路的一个重要公式。电压分量Ucosψ称为电压的有功分量。ψ为单口网络的阻抗角。53

§9-4单口网络的平均功率

若单口网络只含有电阻，则电压与电流的相位差角为零，cosψ=1,则：P=UIcosψ=UI

若单口网络只含有电感和电容，则电压与电流的相位差角为±90°，cosψ=0,则：P=UIcosψ=0

因此，前面讨论的R、L、C元件的功率可以看作是等效阻抗的特殊情况。54

§9-4单口网络的平均功率

若单口网络除了上述无源元件外还有受控缘，则可能出现|ψ|＞90°，此时，平均功率P为负值，说明该网络对外提供能量。

若出现|ψ|≤90°，含有受控源的单口网络与不含受控源的单口网络的情况相同。55

§9-4单口网络的平均功率

3、视在功率

在电工技术中，把电压、电流有效值的乘积UI（即UmIm/2）称为视在功率，记作S，即：S=UI

为了与平均功率、无功功率有所区别，视在功率不用瓦特为单位，而用伏安（V·A）为单位。

由此可见，在正弦稳态电路中，平均功率P一般不等于UI，只是在纯电阻情况下等于UI。56

§9-4单口网络的平均功率

视在功率一般不等于平均功率，但它反映设备的容量。

电子或电气设备是按照一定的额定电压和额定电流来设计和使用的。在设备使用时，若电压和电流（即功率）超过额定值，设备就可能遭到损坏。

因此，电子或电气设备都是以额定视在功率来表示其容量的。57

§9-4单口网络的平均功率

以电灯泡、电烙铁为例，由于其阻抗为纯电阻，视在功率与平均功率相等。如60W灯泡、25W电烙铁，其额定功率是以平均功率给出的。

又如发电机、变压器这类设备，其输出功率与负载性质有关，它们只能给出额定的输出功率，而不能给出平均功率的额定值。

因此，对于额定功率为5000V·A的发电机，若负载为纯电阻性的，则发电机能输出的功率为5000W；若负载为非纯电阻，cosΨ=0.85，则发电机只能输出5000×0.85=4250W。58

§9-4单口网络的平均功率

由于：U≥0、I≥0，显然：ΣSk=ΣUkIk≠0，即正弦稳态电路的视在功率不守恒。59

§9-4单口网络的平均功率

4、功率因素

平均功率一般是小于视在功率的，也就是说要在视在功率功率上打一个折扣才能等于平均功率。

工程上常用到功率因数来表述，记为λ，即：λ=P/S=cosψ

因此，阻抗角ψ也称为功率因数角。60

§9-4单口网络的平均功率

视在功率的意义：视在功率表示电子和电气设备的容量。以发电机为例，它对负载能提供多大的平均功率，则还要看负载的λ是多大而定。例如，容量为117500kV·A的发电机，在λ=0.85时可发出100000kW的功率，而在λ=0.6时，只能发出70500kW的功率。λ太低导致发电机的容量不能充分利用。61

§9-4单口网络的平均功率

5、平均功率的其他计算方法

平均功率P还可以用电流或电压来计算。对内部不含电源的单口网络可根据其等效阻抗Z的实部与电流的有效值来计算平均功率。即：P=I2Re[Z]；

也可根据其等效导纳Y的实部与电压的有效值来计算平均功率。即：P=U2Re[Y]；注意：Re[Z]和Re[Y]一般与单口网络中所含的所有元件有关，不只与电阻元件有关。且：Re[Z]≠1/Re[Y]。62

§9-4单口网络的平均功率

内部不含电源的单口网络也可根据功率守恒法则来计算。

一般来说，网络吸收的总瞬时功率p应为各元件吸收的瞬时功率的总和，即：p=Σpk，其中pk为第k个元件的瞬时功率。

对上式两端取一周期的平均值，可得：P=ΣPk，其中Pk为第k个元件的平均功率。63

§9-4单口网络的平均功率

因此，对于不含电源的单口网络，消耗的平均功率为：P=网络内部各电阻消耗的平均功率的总和=端口处所接电源提供的平均功率。64

§9-4单口网络的平均功率

①ŮL=j2İ-j0.624Ω例题：接上题，试求QL、QC及其总和Q。解:ŮC=-j0.624İ由Q=UIsinΨ，Ψ=90°，得：65

§9-4单口网络的平均功率

∴可从单口的电压、电流，得如下算法，即：

②能否从单口网络的电压、电流计算Q?66

§9-4单口网络的平均功率

重要结论，平均功率功率因数无功功率视在功率（a）已知：67

§9-4单口网络的平均功率

(b)能否由Ůİ计算？

没有物理意义！Ůİ=U∠Ψu·I∠Ψi=UIcos(Ψu+Ψi)+jUIsin(Ψu+Ψi)Ůİ=U∠Ψu·I∠-Ψi=UIcos(Ψu-Ψi)+jUIsin(Ψu-Ψi)=P+jQ68

§9-4单口网络的平均功率

（c）由模型内部各元件计算平均(有功)功率守恒无功功率守恒前面的(a)、(b)两例分别表明上述两关系。

因此，对于不含电源的单口网络，消耗的平均功率：P=网络内部各电阻消耗的平均功率的总和=端口处所接电源提供的平均功率。69

§9-4单口网络的平均功率

本节要点：（1）有功功率及其计算方法；（2）功率因素；（3）视在功率；70第五节单口网络的无功功率

第九章正弦稳态功率和能量三相电路

71

§9-5单口网络的无功功率

含有电感、电容元件的单口网络与外电路也存在能量往返的现象。

有功分量为UcosΨ与电流I的乘积是电路的平均功率:P=UIcosΨ，

另一分量UsinΨ与电流I的乘积是什么？UsinΨ无功分量？UIsinΨ无功功率？721、无功功率

对于不含独立源的单口网络，从端口上计算无功功率的公式应为：Q=UIsinψ其中U、I为在关联参考方向下电压、电流的有效值，Ψ为电压和电流的相位差，无功功率的单位为无功伏安，简称乏（var）。

§9-5单口网络的无功功率

73当单口网络是纯电阻时：

QR=UIsinψ=0，网络不与外电路交换能量；当单口网络是纯电感时：QL=UIsinψ=UIsin90°=UI=I2XL=U2BL；当单口网络是纯电容时：QC=UIsinψ=UIsin-90°=-UI-I2XC=-U2BC；

负号体现电容能量交换的规律和性质和电感能量交换的规律和性质相反。

工程上认为电感吸收无功功率，电容发出无功功率，将两者加以区别。

§9-5单口网络的无功功率

74当单口网络是一般线性网络时：Q=UIsinψ=QL+QC

上式说明，只要Q≠0，除了网络内部有磁场储能和电场储能之间的交换外，多余部分的能量还与网络外部的电路交换。

所以，无源单口网络无功功率的大小，反映了电源参与储能交换的程度。

无功功率Q可以为正或负：当Q＞0时，电压超迁于电流，电路呈感性；当Q＜0时，电流超前于电压，电路呈容性。

§9-5单口网络的无功功率

75

对于含有独立源的单口网络，由于电源参与有功功率、无功功率的交换，使问题变得复杂。

但前述3个功率的定义，仍然适用于含源单口网络，可通过断口电压、电流得计算获得。

但功率因素将失去实际意义。

§9-5单口网络的无功功率

76

§9-5单口网络的无功功率

2、无功功率的物理意义Q=2ω(WL-WC)亦即，无功功率Q正比于网络中两种储能平均值的差额。

这就是说，两种储能就其平均值来说，在网络内部可自行交换，与外电路往返得能量仅为两种储能平均值的差额。

如果两种储能储能平均值恰好相等，则外电路（电源）并不参与能量的交换。77

§9-5单口网络的无功功率

3、无功功率的其他计算方法

无功功率Q还可以用电压或电流来表示。对内部不含电源的单口网络可根据其等效阻抗Z或导纳的需部与电流或电压的有效值来计算无功功率。即：Q=I2Im[Z]及Q=-U2Im[Y]注意：Im[Z]和Im[Y]一般与单口网络中所含的所有元件有关，不只与电抗元件有关。且：Im[Z]≠1/Im[Y]78

§9-5单口网络的无功功率

对于内部不含电源的单口网络，不论如何连接，WL为所有电感平均值储能的总和，WC为所有电容平均值储能的总和。因此，不难得出：Q=ΣQk，其中Qk为第k个电感或电容元件的无功功率，电感取正值，电容取负值。此式称为无功功率守恒。79

§9-5单口网络的无功功率

4、功率三角形

单口网络的视在功率S、平均功率P=ScosΨ和无功功率Q=SsinΨ，三者在数值上的关系为：22+=QPS需要注意单口网络的视在功率：åKSSSk为第k个元件的视在功率。SΨPQ功率三角形这一关系可由图示的功率直角三角形表面。805、重要结论归纳平均功率功率因数无功功率视在功率（a）已知：Ů=U∠Ψu，İ=I∠Ψi

§9-5单口网络的无功功率

81(b)能否由Ůİ计算？

没有物理意义！Ůİ=U∠Ψu·I∠Ψi=UIcos(Ψu+Ψi)+jUIsin(Ψu+Ψi)Ůİ=U∠Ψu·I∠-Ψi=UIcos(Ψu-Ψi)+jUIsin(Ψu-Ψi)=P+jQ

§9-5单口网络的无功功率

82（c）由模型内部各元件计算平均(有功)功率守恒无功功率守恒前面的(a)、(b)两例分别表明上述两关系。由于U≥0、I≥0，显然ΣSk=ΣUkIk≠0，即正弦稳态电路的视在功率不守恒。

§9-5单口网络的无功功率

83

§9-5单口网络的无功功率

6、功率因数λ的提高

在供电电路里，当负载功率P一定时，功率因素cosΨ越高，则电流I就越小，从而损耗在传输线电阻上的功率越小。

并且，随着功率因素的提高，设备容量的利用率也提高。

所以，在电力传输过程中，提高功率因素可使输电效率得以提高，同时也节约了大量的电能。84

§9-5单口网络的无功功率

实际电子或电气设备绝大多数是电感性负载，而且阻抗角较大，故使实际负载的功率因素较低。例如，日光灯功率因素为0.5，工业电炉为0.1~0.2，电动机为0.6~0.9。

由于功率因素较低，从而使电源设备利用不充分，并且增加实际输电线路的损耗，浪费了电能。85

§9-5单口网络的无功功率

由：Q=QL+QC可知，感性无功功率QL与容性无功功率QC是相互补偿的，所以感性负载（用电设备多为感性）上并联适当容量的电容，就可使负载所需的无功功率部分或全部由QC补偿，从而减少由电源供给的无功功率。

这样既不影响负载所需的有功功率，又达到提高功率因素的目的。86

§9-5单口网络的无功功率

①求电源供应的电流IL

；②若并联C使λ达到1，求C和此时的电源电流I。

220V、50Hz、50kW的感应电动机，

λ

=0.5(电感性)。C例题87

§9-5单口网络的无功功率

提问：QL≠0表明什么？解（1）：88

§9-5单口网络的无功功率

为了减少电源与负载间徒劳往返的能量交换，可在负载处并联储能性质相反的元件，成为负载的一个组成部分。

如要使总负载的功率因素为1，则电源就可不再提供无功功率。

从能量的角度看，负载中磁场能量的增减与电容中电场的增减，部分地相互补偿，从而降低了电源与负载间能量交换。即：利用电容发出的无功功率QC去补偿负载所需的无功功率QL，从而减小总的无功功率。89

§9-5单口网络的无功功率

需要指出的是，实际电器设备必须满足负载限定的电压、电流及有功功率，它们才能正常运行工作。

提高功率因素是在保证对实际负载的工作状态无影响的前提下进行的。90

§9-5单口网络的无功功率

λ=1时，∴此时，同样提供50kW，所需电流下降一半多。解（2）：并联C后提问：如何理解提高λ所起的作用？91

§9-5单口网络的无功功率

本节要点：（1）无功功率；（2）功率因素。92第六节复功率复功率守恒第九章正弦稳态功率和能量三相电路

93第六节复功率复功率守恒

前面已经介绍了正弦电路的瞬时功率等于两个同频率正弦量的乘积，其结果是一个非正弦周期量（严格来说，纯电阻电路不是正弦量，但对于电感、电容是正弦量，对于阻抗电路当然是非正弦量），而且它的频率也不同于电压或电流的频率。因此，不能用相量法分析。

但正弦电路的有功功率、无功功率、视在功率，它们可以通过复功率表述。为此，引如复功率概念。94第六节复功率复功率守恒1、复功率

设无源单口网络的端电压相量为：Ů=U∠Ψu，电流相量为İ=I∠Ψi

，

则盖无源单口网络所吸收的复功率定义为：Š=Ůİ*=UI∠（Ψu-Ψi）=UIcosΨ+jUIsinΨ=P+jQ，式中İ*是İ的共轭复数。Š也称为功率相量，单位用VA。95第六节复功率复功率守恒

复功率的实部P应为网络中各电阻元件消耗功率的总和，虚部Q应为网络中各动态元件无功功率的代数和，复功率的模就是视在功率S，Ψ为电压相量和电流相量的相位差。

复功率的吸收或发出，同样根据端口电压和电流的参考方向来判断。

需要说明的是，复功率是功率相两，但不代表正弦量，也不反映时域范围内的功能关系，乘积Š=Ůİ*没有意义的。96第六节复功率复功率守恒

但是，复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的3种功率和功率因素统一为一个公式表示，是一个“四归一”的公式。

复功率的概念显然适用于单个元件电路或任何一端口网络。只要计算出电路中的电压和电流相量，各种功率就可以很方便地计算出来。

类似，复功率也可以定义为：Š=Ů*İ。97第六节复功率复功率守恒

对于不含独立源的一端口网络，可以用等效复阻抗Z或等效复纳Y替代，则复功率又可表示为：Š=Ůİ*=（İZ)İ*=I2ZŠ=Ůİ*=Ů(YŮ)*=U2Y*

由Š、P、Q形成的三角关系是一个与阻抗三角形相似的直角三角形。上式中：Y=G+jB，Y*=G-jB。98第六节复功率复功率守恒2、复功率守恒可以证明，对任何复杂的正弦稳态电路：总的有功功率等于电路各部分有功功率的和；总的无功功率等于电路各部分无功功率的和。99第六节复功率复功率守恒

所以总的复功率也等于电路各部分复功率的和，即电路中有功功率、无功功率、复功率守恒。即有：ΣŠ=0，ΣP=0，ΣQ=0但视在功率S不守恒，即ΣS≠0。100第六节复功率复功率守恒本节要点、（1）复功率的概念；（2）复功率守恒。101第七节正弦稳态最大功率传递定理第九章正弦稳态功率和能量三相电路

102

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

在第四章中，已经讨论了负载电阻从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题。

本节将讨论在正弦稳态时，负载从电源获得最大功率的条件。103

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

如图所示电路，设交流电源或戴维南等效电源的内阻抗为ZS=RS+jXS，负载复阻抗为ZL=RL+jXL。下面分两种情况来分析。104

§9-7正弦稳态最大功率传递定理1、共轭匹配条件

设负载的电阻及电抗均可独立变化。可以证明，负载获得最大功率的条件是：XL=-XS,以及RL=RS，

也就是说负载阻抗为电源内阻抗的共轭复数，即：ZL=ZS*。105

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

满足这一条件时，负载阻抗和电源内阻抗为最大功率匹配、最佳匹配或共轭匹配。此时，最大功率为：PLmax=US2/(4RS)106

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

可以证明，当负载获得最大功率时，传输效率仅为η=50%。

因为效率太低，在电力系统中是不允许工作在这种情况下；同时，因为电源复内阻很小，电流很大，回损坏电源和负载。

但在电子工程中，则要求工作这种状态，以获得最大功率。107

§9-7正弦稳态最大功率传递定理2、模值匹配条件

设负载的阻抗角固定而模可变，可以证明，负载获得最大功率的条件是：负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模值匹配。

当负载是纯电阻时，即|ZL|=RS时，最大功率的条件是：22+=XSRSRS而不是：RL=RS，这是应当注意的。108

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

显然，此时所得的最大功率并非可能获得的最大功率。

如果阻抗角也可调节，还能使负载得到更大的功率。

利用理想变压器来使负载获得最大功率，就属于这一情况。109

§9-7正弦稳态最大功率传递定理求负载Z由具有内阻抗ZS=5+j10Ω的电源获得的功率。

例题时；(1)当(2)为利用教材第四章的“最大功率传递定理”而使Z=5-j10Ω，从而获得最大功率时；(3)当Z=R=|ZS|求情况(2)时一小时内，负载消耗的能量。110

§9-7正弦稳态最大功率传递定理解：(2)(1)共轭匹配

111

§9-7正弦稳态最大功率传递定理(3)内阻抗模=当P=1000W时，模匹配

解112

§9-7正弦稳态最大功率传递定理

共轭匹配时，所得功率为极值。

负载受限制或有其他限制时，只能得到该限制下的最大值，小于这一极值！

本题电路在共轭匹配时，传输效率仅为50%，在给定信号源ZS且不可控时，这是最佳选择。在电力系统中，设计发电机时，应尽量减小内阻，以提高传输效率！113

§9-7正弦稳态最大功率传递定理本节要点：（1）共轭匹配；（2）模值匹配。114第八节三相电路第九章正弦稳态功率和能量三相电路

115

§9-8三相电路

交流电在动力方面的应用，几乎都是属于所谓的三相制。这是因为三相制在提高发电效率、降低输电成本和用电等方面都有许多优点。因此，自19世纪末以来，三相制被世界各国广泛使用。

三相电路是复杂正弦电路的一种特殊形式。

目前工业用电广泛采用三相制，而生活用电是取自三相制中的一相。116

§9-8三相电路

三相电路主要由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。

三相电路分析，以对称三相电路分析为主。而且对称三相电路的分析方法可以推广到非对称三相电路。117

§9-8三相电路1、三相电源基本概念

三相电源是由三个同频率、等振幅而相位依次相差120°的正弦电压源按一定连接方式（星形Y或三角形Δ）组成的电源。118

§9-8三相电路三相交流发电机如示意图所示。定子内侧周围旋置三组相同的绕组，其端钮分别为aa’、bb’、cc’，各占据定子内侧的1/3空间。当转子（磁铁）以角速度ω逆时针旋转时，磁通依次穿过这三个绕组感应出随时间按正弦方式变化的电压。119

§9-8三相电路这三个电压是同频率、等振幅而相位不同的。显然，uc'c滞后uaa'角60°，ubb'滞后uaa'角120°，波形如图所示。120

§9-8三相电路

如果设a、b、c三端各为相对应绕组电压参考方向的正端，并考虑到uc'c=-ucc'，亦即uc'c和ucc'反相180°，变可得uaa'、ubb'、ucc'的波形如图所示。121

§9-8三相电路2、对称三相电压

三相电路的主体是作为电源的三相发电机，它包含三个绕组，所产生的三相电压为：

这三组电压是三个同频率、等振幅而相位依次相差120°的正弦电压，称为对称三相电压。122

§9-8三相电路uaa'、ubb'、ucc'常写为ua、ub、uc，并相应地称为a相电压、b相电压、c相电压。其有效值相量分别为：Ůa=UPŮb=UP∠-120°Ůc=UP∠120°其中UP为有效值，相量如图所示。123

§9-8三相电路

对称三相电压的重要特点：

在任意瞬间，对称三相电压之和恒等于零。即:uaa+ubb+ucc=0也即：cosωt+cos(ωt-120°)+cos(ωt+120°)=0由相量的线性性质可知：Ůa+Ůb+Ůc=0124

§9-8三相电路3、三个绕组作Y形或Δ形联接后向外电路供电（1）如果把三相发电机三个定子绕组的末端连在一个公共点n上，就构成了一个对称Y形联结的三相发电机，如图所示。

公共点n称为中性点，a、b、c三端与输电线相连，输送能量到负载，这三根输电线称为相线或火线。125

§9-8三相电路

图中每个电源（即每一定子绕组）的电压称为相电压，即：ua、ub、uc。

图中相线之间的电压称为线电压，即：uab、ubc、uca。

显然两者的关系为：uab=ua-ub，ubc=ub-uc，uca=uc-ua。126

§9-8三相电路即：线电压=相电压

由此可得Y形联接情况下线电压与相电压的相量关系，如图所示。

若相电压220V，则线电压为380V。127

§9-8三相电路另外，由相量图可知，若以Ůa为参考相量，则:Ůab=Ůp∠30°Ůbc=Ůp∠-90°Ůca=Ůp∠150°uab(t)=Upmcos(ωt+30°)ubc(t)=Upmcos(ωt-90°)uca(t)=Upmcos(ωt+150°)128

§9-8三相电路

如果把线电压相量平移，相量图也可绘制成图？所示。129

§9-8三相电路（2）如果把三个绕组的始、末端顺次相接，在从各连接点a、b、c引出相线来，就构成一个△形联结的三相电源，如图所示。

在这种接法中，没有中性点，有：线电压=相电压由于：Ůa+Ůb+Ůc=0，△形电路中无环流。130

§9-8三相电路

必需注意：如果任何一相线组接反，三个相电压之和将不为零，因而△形联结电路的闭合回路中将产生极大的短路环流，造成严重恶果。相量图如图所示。131

§9-8三相电路4、三相负载

三相负载也可作Y形或△形联接，所谓对称三相负载是由三个相同的负载组成的，每一个负载构成三相负载的一相。

结合电源和负载，有：Y-Y联结对称三相电路；Y-Δ联结对称三相电路；Δ-Y联结对称三相电路；Δ-Δ联结对称三相电路。132

§9-8三相电路5、Y—Y联接对称三相电路（1）Y-Y联结对称三相电路结构′

设每相负载的阻抗为Z=|Z|∠ψ，电源中性点n和负载中性点n'的连接线称为中性线。133

§9-8三相电路∴Ůnn'=0设中性线的阻抗为Zn，由节点分析法可知：′由于：Ůa+Ůb+Ůc=0不论中线Zn多大，n点和n'点是同电位点。134′

§9-8三相电路（2）相电流

可分离出一相计算，如a相的相电流为：设：其他两相电流可推知为：135

§9-8三相电路由相量图可知，三个相电流İa、İb、İc之和为零。因此，如在中性点n或n'处运用KCL，就可得出中性线电流为零。

相量如图所示，每相中的电流称为相电流，而相线电流则称为线电流。在Y形连接中，线电流即相电流。136

§9-8三相电路

所以，在对称三相电路中，取消中性线对电路不会产生影响。

由中性线得三相制称为三相四线制，而取消中性线得三相制称为三相三线制。

由于在对称三相电路中，Ůnn‘=0，

因此，在分析这类电路时，不论原来有没有中性线，也不论中性线得阻抗是多少，都可以设想在nn‘间用一根理想导线连接起来。然后运用上式先求出一相得电流，再求出其他两相得电流，而不必按原电路进行计算。137

§9-8三相电路（3）三相负载功率

每相负载功率为：其中IP、IL分别为相电流、线电流的有效值，在Y形联结中两者是相等的。三相总功率为：P总=3P=3UPIPcosψ=ULILcosψ138

§9-8三相电路

三相电路一般可用节点法或网孔法分析，但对对称电路可采用分离一相，推知其他两相的简化方法。′139

§9-8三相电路

由此可见：三相电路一般可用节点法或网孔法分析，但对对称电路可采用分离一相，推知其他两相的简化方法。

如果在Y-Y联结电路中，负载不对称，但电源对称，有中性线，且其阻抗可忽略不计，则仍可分离一相进行计算，但不能由一相的结果推知其他两相。140

§9-8三相电路6、对称Δ形联结负载和对称三相电源的组合

当只要求分析负载的电压和电流时，只需要知道电源的线电压，而不必追究电源的具体接法。

和电源与负载Y-Y形接法的情况一样，电源与负载无论是Δ-Δ形接法，还是Y-Δ形接法，或是Δ-Y接法，只要构成对称三相电路，由于各相应电压、电流都具有对称性，所以分析电路时只要计算一组，即可知其余两相结果。141

§9-8三相电路设Δ形联结对称负载如图所示。

由于