《用样本的频率分布估计总体分布》导学案

第4课时用样本的频率分布估计总体分布1.会列频率分布表,会画频率分布直方图、折线图,并能应用频率分布直方图解决有关问题.2.会画茎叶图,并能读取茎叶图中的数据和利用茎叶图解决有关问题.3.通过频率分布折线图初步理解分布的实际意义.某市从各学校选拔了部分同学参加全国初中数学竞赛,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数,试题满分120分),并且绘制了图形(如图所示),你能根据图形分析出哪些信息?该市参加本次数学竞赛的同学有多少名?

问题1

(1)在上面的问题中,图形为

,从表中可以得出每个分数段的

,但要注意与我们下面所学频率分布直方图的区别.

(2)频数:将一批数据按照要求分为若干组,各组内数据的

叫作该组的频数.

(3)频率:每组数除以全体数据的个数的值叫作该组的频率.频率反映数据在每组中所占比例的

.

人数大小个数频数分布条形图(4)频率分布:根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的

,这些频率的分布规律(取值状况),就叫作样本的频率分布.为了直观地显示样本的频率分布情况,通常我们会将

样本的容量

、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中,叫作样本

.

(5)频率分布折线图:类似于

,连接频率分布直方图中各小长方形上端的

,就得到频率分布折线图.

(6)总体密度曲线:一般地,总体的个数越多,所取的样本的容量就

,分的组数就越多.随着样本容量和组数的增加,相应的

会越来越接近于一条光滑的曲线,这条曲线称作总体密度曲线.

频率频率分布表频数分布折线图中点越大频率分布折线图

作频率分布直方图的具体步骤(1)计算极差:

与

的差.

(2)决定组距与组数:组距与组数的确定没有固定标准,需要尝试、选择,力求有合适的组数,以能把数据的规律较清楚地呈现为准,太多或太少都不好,不利对数据规律的发现.组数应与样本的容量有关,样本容量越大,组数越多,如果数据的容量不超过100,按数据多少,通常分为5~12组.(3)决定分点:分点要比数据多一位小数,便于分组,分组区间采用

,避免数据被重复计算.

左闭右开最大值最小值问题2(4)列频率分布表:一般分“分组”、“频数累计”(可省略)、“频数”、“频率”四列,最后一行是“合计”.(5)画出频率分布直方图:在画频率分布直方图时,纵轴表示“

”.

茎叶图当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示

,即第一个有效数字,两边的数字表示

,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫作茎叶图.

频率/组距十位数个位数问题3说明:①用茎叶图表示数据有两个优点:一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于

和

,能够展示数据的分布情况.②茎叶图只便于表示

的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两组以上的数据虽然能够记录,但是没有那么直观、清晰.

频率分布直方图的特征(1)频率分布直方图中横坐标表示组距,纵坐标表示

,频率=组距×

.

(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为

,因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是

.

表示记录两位有效数字1频率比问题4(3)

和

是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.

(4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.频率分布表频率分布直方图1D

如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数为(

).A.20

B.30

C.40

D.50C2某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有

根棉花纤维的长度小于20mm.

【解析】由题意知,棉花纤维的长度小于20mm的频率为(0.01+0.01+0.04)×5=0.3,故抽测的100根中,棉花纤维的长度小于20mm的有0.3×100=30(根).304未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注.某青少年研究所随机调查了某校100名学生寒假中花零花钱的数目(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观.根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图,如图所示.【解析】(1)频率分布直方图中,长方形ABCD的面积是0.25,这次调查的样本容量是100;(2)消费150元以上的学生所占的频率为:0.3+0.1+0.05=0.45,所以应对该校1000名学生中的0.45×1000=450名学生提出这项建议.频率分布表、频率分布直方图、频率折线图及应用为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内100名年龄为17.5~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg).56.569.56561.564.576716663.55666.56464.57658.559.563.5657074.57273.556677068.56455.572.566.557.565.5687175687657.56071.56268.562.56659.55769.57464.55963.564.567.5736861.5676863.558557266.574635965.562.569.5726055.57064.55864.575.568.564626470.55762.56565.558.567.570.5656971.57362586666.5706359.5试根据上述数据画出样本的频率分布直方图及频率分布折线图,并对相应的总体分布作出估计.【解析】按照下列步骤获得样本的频率分布:(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中,最大值是76,最小值是55,极差是76-55=21.(2)确定组距与组数.如果将组距定为2,那么由21÷2=10.5,组数为11,这个组数是合适的.于是组距为2,组数为11.(3)决定分点.根据本例中数据的特点,第1小组的起点可取为54.5,第1小组的终点可取为56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点从而造成重复计算,我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样,所得到的分组是[54.5,56.5),[56.5,58.5),…,[74.5,76.5).(4)列频率分布表.

如下表:分组频数频率[54.5,56.5)50.05[56.5,58.5)80.08[58.5,60.5)90.09[60.5,62.5)50.05[62.5,64.5)140.14[64.5,66.5)160.16[66.5,68.5)120.12[68.5,70.5)110.11[70.5,72.5)90.09[72.5,74.5)60.06[74.5,76.5)50.05合计1001.00

(5)绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示.(6)绘制频率分布折线图连接频率直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.如图所示.由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率,这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面,频率分布表比较确切,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后,就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计体重在(64.5,66.5)kg的学生最多,约占学生总数的16%;体重小于58.5kg的学生较少,约占13%,等等.7茎叶图及其应用某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况如下:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.如何分析该运动员的整体水平及发挥的稳定程度?【解析】上述运动员的得分可用茎叶图来表示.上图中第一行分界线的左边的“1”表示十位数字,右边的“2”和“5”表示个位数字,这一行表示该运动员的得分为12分和15分.同理,第二行表示得分为24分和25分,依此类推.从这张图可以粗略地看出,该运动员平均得分及中位数、众数都在30到40之间,且分布较对称,集中程度高,说明其发挥比较稳定.统计图表的应用为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.则第二小组的频率是

,样本容量是

.若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是

.

0.0888%150右表是100名学生身高的频率分布表:分组频数频率[150.5,153.5)40.04[153.5,156.5)8[156.5,159.5)80.08[159.5,162.5)0.11[162.5,165.5)220.22[165.5,168.5)190.19[168.5,171.5)14[171.5,174.5)70.07[174.5,177.5)40.04[177.5,180.5)30.03合计100

(1)补充完整上表;(2)根据数据画出频率分布直方图;(3)画出频率分布折线图.【解析】(1)表格中从上至下分别填:0.08、11、0.14、1.(2)频率分布直方图如图所示.(3)频率分布折线图如图所示.

甲、乙两个小组各11名学生的韩语口语测试成绩如下(单位:分):甲组:79

90

85

86

81

87

87

82

85

83

89乙组:81

84

86

89

79

81

91

89

78

70

90用茎叶图表示两个小组的成绩,并判断哪个小组的成绩更整齐一些.【解析】茎叶图如图所示,容易看出甲组成绩集中在80多分,乙组成绩较分散,即甲组成绩更整齐一些.如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况,作抽样调查后画出的样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为4000,图中每组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500).请根据该图提供的信息解答下列问题:(1)求样本中月收入在[2500,3500)的人数.(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人做进一步分析,则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人?1.一容量为100的样本的频率分布直方图如图所示,则由图形中的数据,样本落在[15,20)内的频数为(

).A.20B.30C.40

D.50【解析】样本数据落在[15,20)内的频数为100×[1-5×(0.04+0.1)]=30.B2.已知样本:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11,那么频率为0.2的范围是(

).A.5.5~7.5

B.7.5~9.5C.9.5~1