山东省青岛市胶南第一中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山东省青岛市胶南第一中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A由函数，可得，有唯一极值点有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，即实数的取值范围是，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.2.若ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有(

)A．f(5)<f(2)<f(－1)B．f(5)<f(－1)<f(2)C．f(－1)<f(2)<f(5)

D．f(2)<f(－1)<f(5)参考答案：B3.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E是AB的三等分点，G、N是CD的三等分点，F、H分别是BC、MN的中点，则四棱锥A1﹣EFGH的左视图是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC1D1上的投影，即可得出结论．【解答】解：A1在面DCC1D1上的投影为点D1，E在面DCC1D1的投影为点G，F在面DCC1D1上的投影为点C，H在面DCC1D1上的投影为点N，因此侧视图为选项C的图形．故选C4.程序框图如图所示，当输入的值为5时，输出的值恰好是，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略5.若等比数列{n}满足：，

，则的值是A．

B．

C．4

D．2参考答案：C略6.已知复数满足，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.集合的子集的个数为（

）A．4

B．8

C．16

D．无数个参考答案：

B8.已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3） D．（1，3）参考答案：C【考点】82：数列的函数特性．【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，an=f（n）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．9.已知集合M=，则MN等于

A．

B．（0,1）

C．（1,2）

D．（-,l）参考答案：B10.已知a,b是实数，是虚数单位，若满足，则等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x，y满足，其中，则的最大值为_________.参考答案：【分析】由定积分得=2，即实数满足，画出可行域，化简目标函数，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可．【详解】由定积分计算得，所以实数满足，画出可行域，如图所示：化简目标函数，令，得，在可行域内平移，当移动到A时，取最大值.，把A代入，得，此时故答案为：【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.12.已知a>b>0,ab=1，则的最小值为

．参考答案：略13.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为

参考答案：【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3【答案解析】解析：因为,故所以在上的投影为.【思路点拨】因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为，问题转化为求。14.某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为

．参考答案：10【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．15.复数满足，则

。参考答案：16.已知中，设三个内角所对的边长分别为，且,则=

．参考答案：或

17.若变量x，y满足，则z=的取值范围是．参考答案：[0，1]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到点（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小为0，AD的斜率最大，由得．即A（0，1），此时z===1，即0≤z≤1，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）的递减区间为；递增区间为．（III）．试题分析：（Ⅰ）首先确定函数的定义域．当时，求．由，得.通过研究函数当时，当时，的单调性，明确当时，函数取得极小值；（Ⅱ），其定义域为．求．根据得到函数的减区间，由，得到函数的增区间.（III）假定在上存在一点，使得成立，可转化成在上的最小值小于零．①当时，由（II）可知在上单调递减．得到在上的最小值为，由，可得．②当时，在上最小值为．此时不满足题意，舍去．试题解析：（Ⅰ）的定义域为．

………1分当时，．

………2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；

……..4分（Ⅱ），其定义域为．又．

…………..6分由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为．

……..……7分（III）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零．…8分①当，即时，由（II）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．

………9分因为．所以；

………10分②当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增．在上最小值为．

………11分因为，所以．，即不满足题意，舍去．

…………12分综上所述:．

………13分考点：1.不等式恒成立问题；2.应用导数研究函数的单调性、极值.19.（本小题满分13分）已知正方体，是底对角线的交点．求证：(Ⅰ)∥面；(Ⅱ)面．参考答案：（Ⅰ）连结，设，连结，是正方体,

是平行四边形,

,

又,分别是,的中点，,

是平行四边形,

……………4分，．

……………6分（Ⅱ）,,又，,,

……………10分同理可证,

……………11分

又,

,

……………13分略20.（本小题满分12分）

已知在x=l处的切线为y=2x.

(1)求b，c的值；

(2)若a=-1，求的极值；

(3)设，是否存在实数a，当（e≈2.718为白然常数）时，函数的最小值为3，若存在，请求出实数a的值；若不存在，请说明理由。参考答案：21.(本小题满分14分)

已知点P(4，a)(a>0)在抛物线C：(p>0)上，P点到抛物线C的焦点F的距离为5．(I)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)已知圆E：x2+y2=2x，过圆心E作直线l与圆E和抛物线C自上而下依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l的方程；

(III)过点Q(4，2)的任一直线(不过P点)与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线y=x+4交于点M，记直线PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在实数，使得k1+k2=k3，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．参考答案：22.（本小题满分13分）