2020年中考数学培优 专题讲义 第13讲 反比例函数与面积

ΔPABSΔΔ公众号：初中数学eduΔPABSΔΔ第讲

反例面模型讲

OB

QOBxOABxS

矩ABCD=

1S=S=2

ΔPOQ梯1S=S=2yy

y

AP

A

P

PA

B

B

B

x

xPA=BQAB//PQPA=BQ【题解例1如图，直线x=k（k）反比例函数上任意一点，连接、，则△PAB面积是y

2和y=-一图像分别交于、两，若点是y轴xx

x=k

x答案：

32公众号：初中数学

112112例、如图，经过原点的两条直线ll，别与双曲线y=P两在第一象限，设点坐标为（31）（1）求k值B点坐标；（2）若P点标a3值四边形APBQ的面积y

kx

公众号：初中数学edu（k）相交于Q四，其中、P

l

l

B

Ax答案：(1)A(3,1)入=

k得k，∵经过原点的直线l与双曲线y=(相于A、B∴点A与x点B于原点对称，B点标为−3,；(2)把Pa,3)代入y=

3x

k得，解得=1∵P点坐标为(1,3)，∵经过原点的直线l与曲线y=(≠0)相x交于PQ点点点Q关原点对点Q的标为(−1,OA=OP=OQ四边形APBQ为平行四边形，2=(3+3)2

+(1+1)2

=40,PQ2

=(1+1)2，=PQ，∴四边形APBQ为形，∵PB2

2

+(3+1)=32,PQ2−1)+(1

=8∴=

2

=

2

，∴四边形APBQ的积=PB242=16.例如在中C是的点，反比例函数y=

kx

（k>0在第一象限的图象经过点，若△OAB的积6求k的（代数法与几何法均尝试用一下）yCB答案别过点作垂线足分别为点N图点为的点CN为△AMB的中位线，∴==a，=b，AM=2b，∵⋅AM=ON，∴OMOM)⋅b∴=a，∴⋅2ab，，=⋅b，故答案为：4.公众号：初中数学

CEFDEF公众号：初中数学eduCEFDEF例4如图，在以为点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OCOA分在x轴y轴正半轴上，反比例函数。k=y

kx

（x）与相交于点D，相于点E若，eq\o\ac(△,且)面积是9，则

D答案:

245例、如图，四边形的点都在坐标轴上，若/，与△ACD的积分别为20和，若双曲线y

kx

恰好经过BC的点，则k的为。DC

x答案:6k例如一函数y=ax+b的象与x轴y轴于B两与反比例函数的图象相交于CxD两别过CD两作轴轴的垂线足为E接CF有下列四个结论；②△AOB相于；△DCECDF④AC=BD.其中正确的结论（把你为正确结论的序号都填上）yOC答案：①②④

DF公众号：初中数学

k阴影1公众号：初中数学eduk阴影1【固习、已知是比例函数y=

kx

的图象上的一点ABx轴点，的面积是3，则的值是

yAOx是曲线y

3x

上的点经A两点向x轴轴垂线段S=S

S

x、如图，菱形的点O是点，顶点By轴，菱形的两条对角线的长分别是6和，反比例函k数y=（<0的图象经过点，则k值为。xyBCAOx、正比例函数与反比例函数

1x

的图象相交于、两点AB⊥于，⊥x轴D如图所示，则四边形的积为。yDO

xC公众号：初中数学

12211221、如图，己知函数=

公众号：初中数学edu144（x=（>0为数y=的图像上的一点，且⊥x轴点，xxx1PBy轴点B，、PB分交函数=的图像于DC两，eq\o\ac(△,则)的积为。xyBDA、如图比函y=

kx

（x）的图像经过矩形OABC对线的交点，分别于BC交点D，若四边形ODBE的积为9，则k的值为。yC

DMOx、如图，已知的点A和边中点C在双曲线y=CD⊥于D若△的面积为，则的为。yCDB

kx

（x）的一个分支上，点在x轴，、如图，是比例函数

kx

图像上一点，C线段OA上点，且OCOA=1，作CDx，垂足为点D，延长交比例函数图像于点B，=8则k的为。

OD公众号：初中数学

1122121211211221212112、如图，点A、在反比例函数

kx

公众号：初中数学edu的图象上，过点A、B轴垂线，垂足分别为M、N延长线段AB交轴点，OM=MN=NC，且的积为，则的为。yOMNC、图，已知四边形的边AO在x轴上BC//AO⊥，过点的双曲线且OD:DB=1：，若△的面积等于，的

kx

交于D，y

C

DAx11如图，两个反比例函数y=

1和y=-的象分别是l和l，点P在l上⊥轴垂足为，xxl于A，⊥轴垂足为D，交l于点B则三角形的积为y

BD

P

A

x、图，已知反比例函数y=

kk1与=（k<0k>0y图上任意一点分别作x轴y的平xx行线交坐标轴于D、点，交y的象于A、直线交标轴于点、N则=含k、的数式表示）yPBDN

xMC公众号：初中数学

123n13n1n1123n13n1n13n-12n1122n-1-1、图，在x轴正半轴上依次截取OAA=...=AA（n为整数点A、、A、…、2分别作x轴垂线，与反比例函数y=（交于点PP，接PP…，x过点P、…分向P、、作线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是（含n的数式表示）yP

P

P

P

O

A

A

A

x、图，四边形ABCD的点都在坐标轴上，若∥，△ACD与的面积分别为10和，若双曲线y=E

kx

恰好经过边AB的等分点E（<AE的为。yABD如平行四边形ABCD的顶点B坐标分别是（-20-4CD在双曲线

kx上，边轴E点且四边形BCDE面积是ABE面积的5倍，则yD

。E

A

B

x公众号：初中数学

12121212、图，反比例函数y=

公众号：初中数学eduk（k）的图像与一次函数的像交于、B两（点在第一象限x（1）当点的横坐标为。①求k的；②根据反比例函数的图像，直接写出当一4<x（x时，的取值范围；（2）点C为轴半轴上点，ACB=，且△的积为10求kyA

xB6、知点P（ab）是反比例函数y=（）图象上的动点∥轴y，分别交反比例函x数

2x

（x）的图象于点A、B，交坐标轴于、D。（1）记△POD的积为，BOD面积为，接写出：；(求比值）（2）请用含a的代数式分别表示、、点的坐标；（3）在点动过程中，连接，设的积为，是变化？若不变，请求的值；若改变，请写出S于函数关系式；P

y=-

6yxy=-A

2xBDOx公众号：初中数学

公众号：初中数学edu、图，在平面直角坐标系中有eq\o\ac(△,Rt)，∠A=，，A（-2，0（，d（-32（1）求d值；（2）将ABC沿轴正方向平移a个位，在第一象限内B、C两的对应点C'正好落在某反比函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'解析式；（3）在（）的条件下，直线交轴点，作⊥x轴，是段B'C'上的一点，eq\o\ac(△,若)PMC'和△PBB'面积相等，求点P坐标yCG

B'O

A'4EFAEBFAOxyx0CD1ABCD2E

y

y

2x

y

4xACBDOF

x公众号：初中数学

.如，己知直线＝－（1）求证：AC；

公众号：初中数学edu3x＋6交轴点，轴点B，交双曲线y＝于CD两点2（2）若△、△、△BOD的面积为S、S、，足SyBDCxO

＝S·，的值k、知，如图，直线l与比例函数＝（k＞）位于第一象限的图像相交于B两，并与轴xx轴别交于E、.（1）试判断与BF数量关系并说明理.（2）如图，若将直线l绕A时针旋转，使其与反比例函数y＝判断与BF的量关系是否依然成立？请说明理.

kx

的另一支图像相交，设交点为.试l

y

ylE

AAB

x

E

xO

F

F

OB（图1）（图2）公众号：初中数学

公众号：初中数学edu1OykxxyABy

mx

CD1AB

CDAB

2AxD①EFCEFD②

CDAB

＝2y

yB6

D

F

DC

BO

1

x

E

AO

xC图1

图2公众号：初中数学

ACB1212公众号：初中数学eduACB1212参考答案答4答：-6答2

答案：

98

答案：3答案：4答案：9答案：6

答案：

3410.答：

9211.

答案：

12k2

12.答：

nn13.答：2.514.答：4815.答①将x=4代y=

33x得=3∴点(4,3)反比例函数=(的图象与一次函数y=x4的图象交于A点∴3=

k4

，∴k；②∵x−4时,=x=1时,=12反例函数的性质可当时的取值范围是<或y>12(2)设点A为(a

35)，则OA=，点C为轴正半轴上一∠=90，且ACB的积为，44∴OB=OC=

55a∴=a×2a=10解得a=2点(2,44

322k)∴=，222解得，=6即k的值是16.答∵(b是反比例函数y=

61图象上动点(a,)=(−)⋅(xa2a

B

21)，∴S=(−)⋅(a

，S:S=3:1=3.故答案为：(2)∵P()反比例函数y=(x<0)图象上的动点，a,x

6，∵点反比例函数=(上且ax横坐标为，∴B(,

2a)，∵点反比例函数=(x上纵坐标为，(，aa3a(3)不变化。(a,

62a6B(,A(,aa

∥轴,∥y轴∴=

16||=−a)−()]=2公众号：初中数学

MPBB公众号：初中数学eduMPBB17.答作⊥x轴点N在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)AOB中OA=ABeq\o\ac(△,Rt)CNAeq\o\ac(△,Rt)(HL，则=AN=3−2=1，d=1；(2)设反比例函数为=

kx

点C和在比例函数图象上，设,2),则′(a+3,1)把和的标分别代k入y，k=2a；k=，∴=，，则k反比例数解析式为=.得；xx1设直线B的析式为+b,CB两点坐标代入得a=2a+b=1得=直线C′3的解析式为：y=

13

x+3；(3)连结∵B(0,1),，∴∥x轴，设(m

13

m作PQC,PHBB，∴

11==×(−3)×2=m，=××BB′=m+31)×6=，∴m，2∴m=

93∴(,).22yCG

H

B'NAMA'18.【析ABCD

32

x1AAMxMDDHxB轴N∴AM∥∥A∵AE＝∴＝＝

m

∴

m

∴

＝

eq\o\ac(△,S)

＋

梯

－

△

＝2

14×（＋）×（2mm）－2，2m∵DH∥BN∴△∽△∴

ODDH＝＝BNON公众号：初中数学

eq\o\ac(△,S)公众号：初中数学edueq\o\ac(△,S)∵DH·＝，BN·＝4∴（

OD2）＝＝42

1）＝OA2∴

OD＝OA∴ABCDAB∥CD；2

＝，∠＝∠AOBOAOB∴△COD∽OD1∴eq\o\ac(△,S)＝）＝∴S

△

＝

32

∴四

＝

32

32

E

y

y=

2x

y=

4xACBD

xO

MH

F19.【解）过点D作⊥OB于点，过点C作CN⊥OA于N,接OD，OC，，CM∵k＞，∴∴

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

＝＝

k＝，＝＝，2∴点D到的离等于点到的离MN在CD的同.∴∥CD.∴四边形NA是行四边形，四边形BMNC是行四边形，∴DM＝ANBM＝，∴BD＝AC公众号：初中数学

公众号：初中数学edu（2）过点O作OE⊥ABAB于E，过点作CFOA交OA于F.∵

＝·，∴（

12

CD·）

1＝BD···，2∴＝BD·.∵BDAC∴＝

＝∴CD＝AC＝∴AC的等分点，∵∥OB∴

CFAC＝OB∵y＝－

32

x＋6∴A（4，6）∴

CF＝6∴＝∵∴

OFBC＝OAOF＝43∴OF＝

∴（，2∵y＝∴2＝

kx

（k≠0公众号：初中数学

公众号：初中数学edu∴k＝

163

.20.【解析AEAM轴MxMNOABM∵AMx∴

eq\o\ac(△,S)

＝

eq\o\ac(△,S)

＝