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文档简介

拉压杆问题的回顾

1、杆的基本概念：杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受拉（压）载荷；杆模型--平面假设将杆简化为一维问题，可由杆轴线代表；杆变形特点--只与轴向位移相关；拉压杆问题的回顾2、杆有限元的基本概念

节点位移—轴向位移，每节点1个自由度；节点力—轴力；

结构离散：轴线划分为若干直线段；单元分析：建立节点力与节点位移关系；节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与外力的平衡关系，得到一线性方程组；约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解第三章梁系结构的有限元法梁的基本概念

梁--承受弯曲变形的杆形构件；梁模型--平面假设将梁简化成一维问题，可由截面上两中性轴交点的连线（梁轴线）代表；梁的变形特点—既与挠度关联，也与弯角关联；（分别展示四种基本情况）；挠度与弯角的关联性：弯角为挠度沿轴线方向的一阶导数（斜率，小变形）。梁单元的基本概念节点位移--平面梁：挠度和弯角，2自由度；广义平面梁：增加1个轴向位移（拉压），3自由度；空间梁：两向挠度和两向转角，4自由度；广义空间梁（略）；节点力—按做功方式与节点位移一一对应，如：挠度对应剪力，弯角对应弯矩，等等。梁结构有限元法的基本步骤结构离散--梁结构离散为若干个单元，之间以节点相连，节点为相邻单元共有（连续性）；单元分析--建立单元节点力与节点位移的关系；包括：单元位移插值、应变与应力分析，节点力合成；节点平衡--对于每一节点，建立所有相关的节点力与外力的平衡关系；得到一线性方程组；约束处理—引入已知节点位移（约束条件），使上述方程组成为可解方程组；求解节点位移，进一步可计算单元应变和应力以及约束节点力。梁单元分析一、平面梁单元的位移函数

1.梁单元的局部坐标系l(e)ij

设单元的位移函数为：有：其中为待定系数确定待定系数：l(e)ij把待定系数代入位移插值函数，有：容易验证：(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值函数二、建立节点位移与节点力关系1、轴向节点力

在局部坐标中：2、弯矩节点力由梁截面正应力合成（简明推导）可得：对节点i(X=0)有：

对节点j(X=L)有：3、剪切节点力

由梁微元的平衡关系（简明推导）有：在节点i和j分别有：

三、梁单元的单元刚度矩阵

1、单元刚度矩阵

用矩阵形式把式（3-3a）-（3-3f）写在一起有：

（3-4）（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系

式（3-4）还可写成：

（3-5）——称为局部坐标下的节点力列向量

——称为局部坐标下的节点位移列向量

——称为梁单元的单元刚度矩阵

2、单元刚度矩阵的性质（2）单刚对称

（3）单刚为奇异矩阵，其逆不存在

（1）单刚主元素>0

为奇异矩阵的物理解释

位移约束引入的必要性梁系结构实例1、直梁

（一）概要

1、单元划分；

2、约束条件（固支、简支）；3、载荷处理（集中力、分布力）。

（二）算例

一端固支一端简支梁，简支端受已知弯矩作用（一个单元）。梁系结构实例2、平面梁系

1、节点力平衡的需求--单元节点力（在局部坐标系中）向整

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