高中数学人教B版第二章数列学业分层测评15

学业分层测评(十五)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A．1,1 B．－1，－1C．1,0 D.－1,0【解析】S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.【答案】D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31 B．33C．35 【解析】根据等比数列性质得eq\f(S10－S5,S5)＝q5，∴eq\f(S10－1,1)＝25，∴S10＝33.【答案】B3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则SA．7 B．8C．15 【解析】设{an}的公比为q，∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2，又a1＝1，∴S4＝eq\f(1－24,1－2)＝15，故选C.【答案】C4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135 B．100C．95 【解析】由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为eq\f(60,40)＝eq\f(3,2).∴a7＋a8＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝135.【答案】A5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，则{an＋bn}的前30项的和为()A．1000 B．1020C．1040 080【解析】{an＋bn}的前30项的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝eq\f(30a1＋a30,2)＋eq\f(30b1＋b30,2)＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1080.【答案】D二、填空题6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.【解析】设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－q2n],1－q2).由题意得eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(3a11－q2n,1－q2).∴1＋q＝3，∴q＝2.【答案】27．数列11,103,1005,10007，…的前n项和Sn＝________.【解析】数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝eq\f(101－10n,1－10)＋eq\f(n1＋2n－1,2)＝eq\f(10,9)(10n－1)＋n2.【答案】eq\f(10,9)(10n－1)＋n28．如果lgx＋lgx2＋…＋lgx10＝110，那么lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝________.【导学号：33300078】【解析】由已知(1＋2＋…＋10)lgx＝110，∴55lgx＝110.∴lgx＝2.∴lgx＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2046.【答案】2046三、解答题9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．【解】∵S30≠3S10，∴q≠1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q30,1－q)＝130.))∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝eq\f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和．【解】若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，eq\f(1,an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列，其前5项和为S5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).[能力提升]1．(2023·广州六月月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 ∶3【解析】在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.【答案】A2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝eq\f(S1＋S2＋…＋Sn,n)为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为()A．1673 B．1675\f(5035,3) \f(5041,3)【解析】因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2014，所以eq\f(S1＋S2＋S3＋S4＋S5,5)＝2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为eq\f(2＋2＋S1＋2＋S2＋…＋2＋S5,6)＝eq\f(6×2＋5×2014,6)＝eq\f(5041,3).【答案】D3．已知首项为eq\f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.【导学号：33300079】【解析】设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是递减数列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3,2)×－eq\f(1,2)n－1＝(－1)n－1×eq\f(3,2n).【答案】(－1)n－1×eq\f(3,2n)4．(2023·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝eq\f(9,2).(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋eq\f(3×2,2)d＝eq\f(9,2)，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝eq\f(3,2)，解得a1＝1，d＝eq\f(1,2