高中数学人教A版第三章三角恒等变换 课后提升作业三十(二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业三十简单的三角恒等变换(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=sinx-3cosx可化简为()x-π3x-π【解析】选A.由辅助角公式知f(x)=21=2sinxcosπ32.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=2cos3x的图象()A.向右平移π12B.向右平移π4C.向左平移π12D.向左平移π4【解析】选A.因为y=sin3x+cos3x=2cos3x-π4=2cos3x-π12,所以将函数y=2cos3x向右平移3.已知向量a=cos3α2,sin3α2,b=cosα2 B.πC.π2 或【解析】选D.因为a=cos3αb=cosα2,-sinα2,所以cos3α2sinα2+sin3即sinα2+3α2=0,sin2α=0,因为所以2α∈[0,π],所以2α=0或2α=π,所以α=0或α=π2【延伸探究】若本题中的条件“a∥b”改为“a⊥b”,求α的值.【解析】由a⊥b,可知cos3α2cosα2-sin3α2所以2α=π2,所以α=π4.(2023·深圳高一检测)设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0, 【解析】选(x)=2cos2x+3sin2x+a=1+cos2x+3sin2x+a=2sin2x+当x∈0,π2时,2x+π所以f(x)min=2·-15.函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象可以由函数g(x)=4sinxcosx的图象得到()A.向右移动π12个单位 B.向左移动πC.向右移动π6个单位 D.向左移动π【解析】选A.因为g(x)=4sinxcosx=2sin2x,f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-π6=2sin2x6.(2023·广州高一检测)函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为(),1 ,2,32 ,【解析】选(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-12则函数的最大值、最小值分别是32【补偿训练】下列各值中,函数y=2sinx+23cosx不能取得的是() 【解析】选D.因为y=2sinx+23cosx=412sinx+3所以函数y=2sinx+23cosx不能取得的是.7.使函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是()A.π6 B.π3 C.π2 【解析】选(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin2x+当θ=2πf(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x为奇函数.8.(2023·长春高一检测)若sinα2=1+sinα-43 43或0 【解析】选1+sinα=sinα2=sinα2+cosα2-sinα所以2cosα2=sinα2或sin所以tanα2=2或sinα当tanα2=2时,tanα=2tanα21-ta当sinα2=0时,tanα综上可知,tanα的值是-43或【补偿训练】已知f(x)=1-x,当α∈5π4,3π2时,f(sin2α)-f(-sin2α α α α【解析】选(sin2α)-f(-sin2α)=1-sin2α-1(sinα-cosα)2-(sinα+cosα)2=|sinα-cos由α∈5π所以sinα<cosα<0,f(sin2α)-f(-sin2α)=2cosα.二、填空题(每小题5分,共10分)9.如图是半径为1的半圆,且PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则其值为时,矩形的面积最大,最大面积的值为.【解析】∠SOP=α,则SP=sinα,OS=cosα,故S矩形PQRS=sinα×2cosα=sin2α,故当α为45°时,S矩形PQRS的面积最大,最大值为1.答案:45°110.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=来截.【解析】设正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b,则a2b2=32,又a=GC+CF=bsinx+bcosx所以sinx+cosx=62,所以sinx+π因为0<x<π2,π4<x+π4所以x+π4=π3或2π3,x=答案:π12或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围,而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分,共20分)11.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cosπ12t-sinπ(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8)=10-3cosπ12×8=10-3cos2π3=10-3×-12-故实验室这一天上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)=10-23=10-2sinπ12又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7当t=2时,sinπ12当t=14时,sinπ12于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.12.(2023·武汉高一检测)已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2x(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间.【解析】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.因为f(x)=(sinx-cosx)sin2x2sin2x-所以f(x)的最小正周期为T=2π(2)函数y=sinx的单调递增区间为2kπ-由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+得kπ-π8≤x≤kπ+3所以f(x)的单调递增区间为kπ-π8【能力挑战题】已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若f(α)=32【解析】(1)f(x)=