高中数学北师大版1第一章直线多边形圆 名师获奖

学业分层测评(八)相交弦定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.圆内两弦AB，CD相交于点P，PA＝3，PB＝4，PC∶PD＝1∶3，则CD等于()【导学号：96990035】【解析】设PC＝x，PD＝3x，则有：3×4＝x×3x，解得x＝2(负值舍去)，∴PC＝2，PD＝6，∴CD＝8.【答案】B2.如图1­2­114，在△ABC中，AD是BC边上的高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：图1­2­114①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是()【解析】由△ABE∽△ADC得eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，∴AE·AD＝AB·AC，故③正确；由相交弦定理得AG·EG＝BG·CG，故④正确.【答案】B3.如图1­2­115，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为()图1­2­115 【解析】由相交弦定理得AP·BP＝CP·PD，∴4×6＝3×PD，∴PD＝8，设⊙O的半径为r∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PD＝r＋OP＝8,PC＝r－OP＝3))，解得r＝【答案】B4.如图1­2­116所示，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为eq\r(2)，则BF的长为()图1­2­116\f(\r(3),2) \f(\r(2),2)\f(6\r(5),5) \f(4\r(5),5)【解析】由题意知BD＝2eq\r(2)，则CD＝BC＝2DE＝2CE＝2.∴BE·EF＝1，又BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴EF＝eq\f(\r(5),5)，∴BF＝eq\r(5)＋eq\f(\r(5),5)＝eq\f(6\r(5),5).【答案】C5.已知⊙O的半径为5，两弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为()\f(2\r(14),3) \f(28,9)\f(2\r(7),3) \f(80,9)【解析】过O作OH⊥CD，连接OD，则DH＝eq\f(1,2)CD，由相交弦定理知，AE·BE＝CE·DE.可设CE＝4x，则DE＝9x，∴4×4＝4x×9x，解得x＝eq\f(2,3)，即OH＝eq\r(OD2－DH2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)))2)＝eq\f(2\r(14),3).【答案】A二、填空题6.如图1­2­117，在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________.图1­2­117【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2)＝eq\r(7－\f(25,4))＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(\r(3),2)7.如图1­2­118，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________.图1­2­118【解析】∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝8×2＝16，∴PD＝4.∵BD⊥AC，∠CPD＝90°∴tan∠ACD＝eq\f(PB,PC)＝eq\f(4,2)＝2.【答案】28.如图1­2­119所示，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.图1­2­119【解析】连接OC，由切割线定理知PC2＝PA·PB，即42＝8PA，∴PA＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6，∴OA＝OC＝3，∴OP＝3＋2＝5，在Rt△OCP中，CE⊥OP，∴OC2＝OE·OP，即32＝5OE，∴OE＝eq\f(9,5)，∴BE＝3＋eq\f(9,5)＝eq\f(24,5)，AE＝3－eq\f(9,5)＝eq\f(6,5)，∴CE2＝BE·AE＝eq\f(24,5)×eq\f(6,5)＝eq\f(144,25)，∴CE＝eq\f(12,5)，∴CD＝eq\f(24,5).【答案】eq\f(24,5)三、解答题9.如图1­2­120，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF＝FD，BC＝1cm，CE＝8cm，求EF和AF的长.图1­2­120【解】AB2＝BC·BE，AB2＝1×9，所以AB＝3(cm)＝BF＝FD.所以CF＝2(cm)，FE＝6(cm).又因为AF·FD＝CF·FE，所以AF×3＝2×6，即AF＝4(cm).10.如图1­2­121，BC是半圆的直径，D，E是半圆上的两点，且eq\o(\s\up10(︵),CE)＝eq\o(\s\up10(︵),ED).过C作半圆的切线，与BE的延长线相交于F，BE与CD相交于G，CE，BD的延长线相交于A，连接DE.图1­2­121(1)求证：AB＝BC；(2)如果DG∶GE＝3∶eq\r(5)，BG＝3k，试用含k的代数式表示AC.【解】(1)证明：eq\o(\s\up10(︵),DE)＝eq\o(\s\up10(︵),EC)，∠ABE＝∠CBE.∴BC是半圆的直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE.∴AB＝BC.(2)∵BC是半圆的直径，∴∠GEC＝∠FEC＝90°.∵CF是切线，∴∠GCE＝∠CBE＝∠FCE.又∵CE＝CE，∴△CEG≌△CEF.∴CG＝CF，EF＝EG.由相交弦定理可得：DG·GC＝BG·GE，∴eq\f(BG,CG)＝eq\f(DG,GE)＝eq\f(3,\r(5)).由BG＝3k，得CG＝eq\r(5)k，∴CF＝eq\r(5)k.∵CF是半圆的切线，由切割线定理得，∴CF2＝EF·FB.设EF＝EG＝x，则(eq\r(5)k)2＝x(x＋x＋3k).解得x1＝k，x2＝－eq\f(5,2)k(舍去).∴EF＝k.∴AC＝2EC＝2eq\r(FC2－EF2)＝2eq\r(\r(5)k2－k2)＝4k.能力提升]1.如图1­2­122，⊙O的弦AB，CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE＝2eq\r(5)cm，则PE的长为()图1­2­122cm cmcm cm【解析】由相交弦定理，得PA·PB＝PD·PC.∴4×3＝PD·6.∴PD＝2(cm)，由切割线定理，得AE2＝ED·EC，∴(2eq\r(5))2＝ED·(ED＋2＋6)，解此方程得ED＝2或ED＝－10(舍去)，∴PE＝2＋2＝4(cm).【答案】C2.已知圆中两条弦相交于P，第一条弦被交点分为12cm和16cm，第二条弦的长为32cm，则第二条弦被交点分成的两线段长分别为__________，__________.【导学号：96990036】【解析】设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为(32－x)cm，根据相交弦定理，得x(32－x)＝12×16，即x2－32x＋192＝0，解得x1＝8或x2＝24.所以另一段长为32－x1＝24或32－x2＝8，所以另一段被交点分成的两段长分别为8cm,24cm.【答案】8cm24cm3.如图1­2­123，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为__________.图1­2­123【解析】由相交弦定理知：EA·EB＝EC·ED，(*)又E为AB的中点，AB＝4，DE＝CE＋3，∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，∴CE＝－4(舍去)，CE＝1，∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.【答案】54.如图1­2­124，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA＝2eq\r(3)，∠APB＝30°，则AE＝________.图1­2­124【解析】根据已知可得，在Rt△PAO