高中数学人教A版2第一章导数及其应用 评估验收卷(一)

评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于()A．cosα＋sinx B．2sinα＋cosxC．sinx D．cosx解析：函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．答案：C2．函数f(x)＝sinx＋cosx在点(0，f(0))处的切线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：f′(x)＝cosx－sinx，f′(0)＝cos0－sin0＝1，又f(0)＝sin0＋cos0＝1，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.答案：A3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝()\f(1,2)\f(1,3)C．2D．3解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a答案：D4．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))解析：因为f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)，当0＜x≤eq\f(\r(2),2)时，f′(x)≤0.答案：C5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是()A．1\f(1,2)C．0D．－1解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－eq\f(1,2)(舍去)或x＝eq\f(1,2)，因为f(0)＝0，f(1)＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝1，所以f(x)在[0，1]上的最大值为1.答案：A6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，因为f′(－3)＝0.所以3×(－3)2＋2a·(－3)＋3＝0，所以a答案：D7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．e\f(1,e)D．e－1解析：W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)F(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(1＋ex)dx＝(x＋ex)|eq\o\al(1,0)＝(1＋e)－1＝e.答案：B8．设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是()解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．答案：A9．(2023·山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4解析：直线y＝4x与曲线y＝x3交点坐标为(0，0)和(2，8)，依题意得S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4.答案：D10．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＞eq\f(1,2)，则满足2f(x)＜x＋1的x的集合为()A．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＜－1或x＞1}C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}解析：令g(x)＝2f(x)－x－1，因为f′(x)＞eq\f(1,2)，所以g′(x)＝2f′(x)－1＞0，所以g(x)为单调增函数，因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0，所以当x＜1时，g(x)＜0，即2f(x)＜x答案：C11．函数f(x)＝x＋eq\f(1,ax)在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，1]C．(0，1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：f′(x)＝1－eq\f(1,ax2)，依题意，f′(x)＞0在(－∞，－1)上恒成立，即1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立．当a＜0时，1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立，排除选项A、C；取a＝2，因为x＜－1，所以x2＞1，所以0＜eq\f(1,x2)＜1，所以0＜eq\f(1,2x2)＜eq\f(1,2)，所以1－eq\f(1,ax2)＞0在(－∞，－1)上恒成立．所以a＝2符合条件．故选项D正确．答案：D12．函数f(x)＝eq\f(1,3)ax3＋eq\f(1,2)ax3－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A．－eq\f(3,10)＜a＜eq\f(6,7) B．－eq\f(8,5)＜a＜－eq\f(3,16)C．－eq\f(8,3)＜a＜－eq\f(1,16) D．a＜－eq\f(3,10)或a＞eq\f(6,7)解析：f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)＜0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)a＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)a＋1))，解得a＜－eq\f(3,10)或a＞eq\f(6,7).答案：D二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13．已知y＝lneq\f(1,\r(1＋x2))，则y′＝________．解析：y＝lneq\f(1,\r(1＋x2))＝ln(1＋x2)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)ln(1＋x2)，所以y′＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,1＋x2)·(2x)＝－eq\f(x,1＋x2).答案：－eq\f(x,1＋x2)\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,－3)(x2－2sinx)dx＝________．解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,－3)(x2－2sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋2cosx))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(3,－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×27＋2cos3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×（－27）＋2cos（－3）))＝18.答案：1815．曲线y＝eq\f(x＋1,x2)(x＞0)在点(1，2)处的切线方程为____________．解析：y′＝eq\f(x2－2（x＋1）x,x4)＝eq\f(－x2－2x,x4)＝eq\f(－x－2,x3)，所以过点(1，2)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝－3，所以切线方程为y－2＝－3(x－1)，即3x－y－5＝0.答案：3x－y－5＝016．函数f(x)＝ax3－3x在区间[－1，1]上为单调减函数，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3ax2－3，因为f(x)在[－1，1]上为单调减函数，所以f′(x)≤0在[－1，1]上恒成立，即3ax2－3≤0在[－1，1]上恒成立，所以a≤eq\f(1,x2)，因为x∈[－1，1]，所以a≤1.答案：(－∞，1]三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝eq\f(ex,x)，求函数f(x)的单调区间．解：f′(x)＝－eq\f(1,x2)ex＋eq\f(1,x)ex＝eq\f(x－1,x2)ex，由f′(x)＝0，得x＝1.因为当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．18．(本小题满分12分)曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程．解：可由导数定义求得f′(x)＝3x2.令3x2＝3，则x＝±1.当x＝1时，切点为(1，1)，所以该曲线在(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，所以该曲线在(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.综上知，曲线f(x)＝x3在点A处的切线方程为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是3x－y－2＝0.(1)求a、b的值；(2)设t∈[－2，－1]，函数g(x)＝f(x)＋(m－3)x在上(t，＋∞)为增函数，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－2x＋a，所以切线的斜率k＝f′(0)＝a，又切线方程为3x－y－2＝0，故a＝3.而点P(0，b)在切线上，则b＝－2.(2)因为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋3x－2，所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋3x－2＋(m－3)x＝eq\f(1,3)x3－x2＋mx－2，所以g′(x)＝x2－2x＋m，又g(x)是(t，＋∞)上的增函数，所以g′(x)≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，即t2－2t＋m≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，又函数h(t)＝t2－2t＋m在t∈[－2，－1]是减函数，则h(x)min＝h(－1)＝m＋3≥0，所以m≥－3.20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝eq\f(6,x＋1)－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为万元．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝eq\f(1,2)，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x