高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评12

学业分层测评(十二)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知f(x)＝sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，0))，则φ＝________.【解析】把x＝－eq\f(7,12)π代入sin(3x＋φ)＝0，得sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,12)π))＋φ))＝0，∴φ－eq\f(7,4)π＝kπ，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以令k＝－2，得φ＝－2π＋eq\f(7,4)π＝－eq\f(π,4).【答案】－eq\f(π,4)2．三角函数式：①y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))；②y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))；③y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,12)))；④y＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).其中在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的图象如图1­3­11所示的函数是________．图1­3­11【解析】代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，－3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，3))检验．【答案】①②④3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图1­3­12所示，则ω＝________；φ＝________.图1­3­12【解析】eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝eq\f(3π,4)，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.当x＝eq\f(5π,12)时，2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3).【答案】2－eq\f(π,3)4．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，2))是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m(ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为eq\f(π,2)，则正确的序号有________.【导学号：48582058】①f(x)的最小正周期是π；②f(x)的值域为[0，4]；③f(x)的初相φ＝eq\f(π,3)；④f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，2π))上单调递增．【解析】由题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω＋φ＝kπk∈Z①，m＝2，))且函数的最小正周期为T＝4×eq\f(π,2)＝2π，故ω＝eq\f(2π,T)＝1.代入①式得φ＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2.故函数f(x)的值域为[1，3]，初相为eq\f(π,6)，排除①②③项，选④项．【答案】④5.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图1­3­13所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝________.图1­3­13【解析】由图象可得最小正周期为eq\f(2,3)π，于是f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，注意到eq\f(2,3)π与eq\f(π,2)关于eq\f(7π,12)对称，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)6．设函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,5))).若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【解析】f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2.【答案】27．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.【解析】由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))是函数f(x)的最大值或最小值，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－3或3.【答案】±38．设函数y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝eq\f(π,12)对称，则在下面四个结论：①图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称；②图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称；③在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上是增函数；④在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上是增函数，所有正确结论的编号为________．【解析】∵T＝π，∴ω＝2.又2×eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，∴φ＝kπ＋eq\f(π,3).∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由图象及性质可知②④正确．【答案】②④二、解答题9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的周期为π，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))时，求f(x)的最值．【导学号：48582059】【解】(1)由最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))得A＝2.由T＝π，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))是图象的一个最低点，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值eq\r(3).[能力提升]1．方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．【解析】∵x∈[0，π]，x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，2sinx＋eq\f(π,3)∈[－eq\r(3)，2]．画出函数图象可知，当eq\r(3)≤1－2a＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－eq\f(1,2)＜a≤eq\f(1－\r(3),2).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1－\r(3),2)))2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的一段图象如图1­3­14所示．图1­3­14(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【导学号：48582060】【解】(1)A＝3，eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π,4)))＝5π，故ω＝eq\f(2,5).由f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋φ))的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)＋φ))＝0，又|φ|＜eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,10)，∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x－\f(π,10))).(2)设把f(x)的图象向左至少平移m(m＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f(x＋m)＝3sineq\b\lc\