矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用

矢量三角形法

在力的平衡问题中的妙用

学生在解静态平衡问题时，通常运用平行四边形定则运算，难度不算大。可一旦转入多个力的求和问题，对于动态平衡问题，用正交分解法取代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计算仍显得繁琐。如果遇上了动态平衡的问题，因疑点增多，解破起来颇感棘手，若用矢量三角形法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的计算程序，可谓之柳暗花明。下面让我们上起来学习矢量三角形法在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中的妙用.

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θ•一、矢量三角形的建立矢量三角形1：两分力的合力为，构成平行四边形，如图1甲，该平行四边形含有两个全等的三角形，每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向，因此，如果我们只取其中的一个三角形，如图1乙，利用三角形知识求力的问题，则很多力学问题就会变的简单的多了。图1乙中矢量三角形的数学表达式为：矢量三角形2：三个力使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的平衡知识知道，F1、F2合力与力F3等大、反向，如果把F3平移到F3/的位置上，则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形的数学表达式为:结论:三力合力为零的条件:1．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用二、矢量三角形的解题应用若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向例1.如图所示，一个物体受到七个力的作用，其中构成一个等六边形，已知，则求物体受到的合外力的大小。解析：根据矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8，力F8与力F3合力大小等于力F7，即合力的大小等于力F7；同理可知F6

、

F5

、

F4合力的大小等于力F7，所以物体受到的合外力的大小等于例2．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，求下列情况下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直

分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反，故这三个力可构成力的三角形：G N1

N2

G N2

N1

由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖直放置时，N1=GtgθN2=G/cosθ当挡板与斜面垂直放置时，N1=GsinθN2=Gcosθ这样比我们建立直角坐标，再利用正交分解法来求解就简单多了。2．矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用例3．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？分析与解答：分析小球受力如图所示，小球受重力、斜面的支持力和挡板的支持力，在者三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成力的三角形（如右图所示）挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对小球的支持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向也不变，由矢量三角形知斜面的支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大G N2

N1

θ G N2

N1

θ G N1

N2

θ

O 例4．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法正确的是（）A、TA、TB一直减少；B、TA一直增大，TB一直减少；C、TA先增大后减少，TB先减少后增大；D、TA先减少后增大，TB一直减少；A O B C 图4 析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当θ角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析：若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变，TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。TB

TA

TC=G 图5 例5．如图所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D的圆桶内，且d<D<2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3，如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况是（）A．F1增大，F2不变，F3增大；B．F1减少，F2不变，F3减少；C．F1减少，F2减少，F3增大；D．F1增大，F2减少，F3减少；分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分析上面的小球，小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用，且处于平衡状态，这三个力构成矢量三角形，G的大小和方向都不变,F的方向始终水平向左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角变小，由矢量三角形图知F增大，所以答案为A。F G N 3．构建矢量三角形，处理最值问题

：例6.

如图所示，在轻质细线的下端悬挂一个质量为m的物体，若用力F拉物体，使细线偏离竖直方向的夹角为α角，且保持α角不变，求拉力F的最小值。解析：以m物体为研究对象，绳的张力与对m的拉力F的合力F”与物体A的重力等大反向，由于绳的张力的方向不变，根据图解可以看出，当F垂直于力时，F取最小值。，4.构建矢量三角形，找出几何三角形，利用三角形相似解题正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。例7、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（）解析：如图所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在这个三