山西省大同市希望学校2023年高三数学理模拟试卷含解析

山西省大同市希望学校2023年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，且，点满足等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知，函数在处于直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数A．有最小值

B．有最小值

C．有最大值

D．有最大值

参考答案：D略3.已知向量||=1，||=2，＜，＞=，则|+|为（）A．9 B．7 C．3 D．参考答案：D【考点】向量的模．【分析】由向量的数量积运算得==，把已知的数据代入求解即可．【解答】解：由题意得，====，故选：D．4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C略5.如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B6.设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝

A.1B.C.D.2参考答案：B

【知识点】复数代数形式的乘除运算L1解析：复数z====1+i，则|z|=．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．7.圆的圆心到直线的距离是

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象(

)A.右平移个单位长度

B.左平移个单位长度C.右平移个单位长度

D.左平移个单位长度参考答案：C略9.如图，阴影部分的面积是(

)A．2

B．2－

C.

D.参考答案：【知识点】定积分在求面积中的应用。B13

【答案解析】C解析：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2；解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）；设阴影部分面积为s，则==；所以阴影部分的面积为，故选C．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．10.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：C该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线，焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么

.

参考答案：12.在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．参考答案：20π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．13.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，则这个定值为；推广到空间，棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和为___________________.参考答案：略14.已知A（3，），O为原点，点P（x，y）的坐标满足，则取最大值时点P的坐标是＿＿＿＿＿

参考答案：15.（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：①函数f（x）=2x为R上的“1高调函数”；②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②③对于①，函数f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，∴函数f（x）=2x是R上的1（l≥0）高调函数，故①正确；对于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确；对于③，∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，只有[﹣1，1]上至少需要加2，实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确，综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③16.“已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则.”，类比前面结论，若正项数列为等比数列，

参考答案：正项数列为等比数列，它的前项乘积为，若，则；略17.下列说法：

①“”的否定是“”；

②函数的最小正周期是

③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；

④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是

。

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数，.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）由条件得

……2分∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴此切线的斜率为0即，有，得

……4分∴=，由得，由得.∴在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当时取得极小值.故的单调递减区间为（0，），极小值为.

……6分（2）条件等价于对任意，恒成立，……（*）设，∴（*）等价于在（0，+∞）上单调递减.

……9分由0在（0，+∞）上恒成立，

……10分得=恒成立，∴(对，仅在时成立)，故的取值范围是[，+∞）.

……12分19.已知抛物线C的方程为,直线:与轴的交点在抛物线准线的右侧.(Ⅰ)求证:直线与抛物线恒有两个不同交点；(Ⅱ)已知定点,若直线与抛物线的交点为,满足,是否存在实数,使得原点到直线的距离不大于,若存在，求出正实数的的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解：(Ⅰ)由题知，联立与，消去可得

……(*)∵且，∴，所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；

……4分（Ⅱ）设，由(*)可得故∴又由原点到直线l的距离不大于，则有，由(Ⅰ)有，即，结合，化简该不等式得：，恒成立，∴，令，则而函数在上单调递减，∴∴

存在且，实数的取值范围为.

……10分20.已知函数为常数），(1）若，且函数的值域为，求的表达式；(2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；(3）设且为偶函数，判断能否大于零？参考答案：（1）由题意，得：

，解得：，所以的表达式为：.(2）

5分图象的对称轴为：由题意，得：解得：

(3）是偶函数，

，不妨设，则又，则大于零.

21.

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2；且

点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线L与椭圆C相交于A、B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆

心且与直线L相切的圆的方程．参考答案：解：(1)设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0），F2(1,0)．

………………2分

,又c=1,b2=4-l=3,

故椭圆的方程为．…………4分(2)当直线l⊥x轴，计算得到：，不符合题意，…6分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k(x+1)，由，消去y得显然△>O成立，设则

………………8分又即

'

…………10分又圆F2的半径

……………11分所以化简，得，即，解得k=±1，……l3分所以，，故圆F2的方程为：(x-1)2+y2=2．……………l4分(2)另解：设直线l的方程为x=ty-1，由，消去x得，△>O恒成立，设,则所以又圆F2的半径为所以，解得t2=1，所以．故圆F2的方程为：22.如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若=时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC；（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2