山西省忻州市城内中学2021年高二数学理期末试卷含解析

山西省忻州市城内中学2021年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作斜率是的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B2.椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.已知{an}为等比数列,,,则（）A.7 B.5 C.－5 D.－7参考答案：D【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.4.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数（）的所有零点之和为（

）A.1-

B.

C.

D.参考答案：A5.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略6.已知函数的最小正周期为，则该函数图象（

）A．关于点对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：A7.某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（

）A. B. C.2 D.3参考答案：D【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其几个侧面积中的最大值即可.【详解】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥，其中正方体的棱长为2，点M为棱的中点，很明显，，由于，故，，，则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3.故选：D.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.使平面α∥平面β的一个条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a?α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α参考答案：D【考点】直线与平面平行的判定．【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的即可得解．【解答】解：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．故选：D．9.已知，那么?的值等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是(

)A.0＜m＜3

B.4＜m＜6

C.3＜m＜4

D.1＜m＜3参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个正方体的一条体对角线的两端点坐标分别为P(-1,2,-1),Q(3,-2,3),则该正方体的棱长为_____参考答案：略12.设复数z满足

；参考答案：略13.已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是非q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．参考答案：14.双曲线=1的渐近线方程是．参考答案：y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．15.一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表：

组距频数

2

3

4

5

4

2

则样本在区间上的频率为

▲

．参考答案：略16.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有______种．参考答案：7217.已知命题p：，命题q：，，若“”是“”的必要而不充分条件，求a的取值范围参考答案：解：，，-----4分∵P是q的充分不必要条件，∴，-----------8分∴。-----------12分略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？参考答案：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：，（）----4分问题转化为在，的条件下，求的最大值．法一：，-----------8分由和及得：

---------------12分法二：∵，，=∴当，即，由可解得：．答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．19.已知点A（0，2），B（4，6），=t1+t2，其中t1、t2为实数；（1）若点M在第二或第三象限，且t1=2，求t2的取值范围；（2）求证：当t1=1时，不论t2为何值，A、B、M三点共线；（3）若t1=a2，⊥，且△ABM的面积为12，求a和t2的值．参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）由题设条件，得=（4t2，2t1+4t2），又点M在第二象限或第三象限，列出不等式求出t2的取值范围；（2）由平面向量的共线定理，得=t2，能证明A，B，M三点共线；（3）由t1=a2表示出、，利用⊥求出t2=﹣a2，再由S△ABM=12求出a的值和t2的值．【解答】解：（1）由A（0，2），B（4，6），得=（4，4），∴=t1+t2=（4t2，2t1+4t2），又点M在第二象限或第三象限，∴，又t1=2，解得t2＜0且t2≠﹣1，∴t2的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）；（2）证明：t1=1时，=t1+t2=+t2，∴﹣=t2，即=t2，∴不论t2为何值，A、B、M三点共线；（3）∵当t1=a2时，=（4t2，4t2+2a2），又∵=（4，4），⊥，∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=﹣a2．∴=（﹣a2，a2）；又∵||=4，点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离为d==|a2﹣1|；∵S△ABM=12，∴||?d=×4×|a2﹣1|=12，解得a=±2，此时t2=﹣a2=﹣1．20.已知：命题p：表示双曲线，命题q：函数在R上单调递增.（1）若命题p为真命题，求实数m取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.参考答案：解：（1）∵命题p为真命题∴，解得∴实数m的取值范围为(－3,1).（2）当命题q为真命题时有恒成立∴，解得若命题p是真命题，命题q是假命题，则有解得；若命题p是假命题，命题q是真命题，则有解得.故所求实数m的取值范围为.注：若第（2）小题得结果，而以下推理均正确，则总共扣3分.

21.已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点．（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入，消去整理得

….2分设

则

…4分由线段中点的横坐标是，

得，解得，适合.

…………5分所以直线的方程为，或.

……….6分（Ⅱ）假设在轴上存在点，使为常数.①当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知

所以

…………9分将代入，整理得

注意到是与无关的常数，从而有，此时

②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时，亦有

综上，在轴上存在定点，使为常数

………………13分

22.(本小题满分16分)(1)已知，求证：；(