山西省忻州市王村乡办中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省忻州市王村乡办中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．5 B．6 C． D．7参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+2y为y=﹣．由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：C．2.下列命题中真命题是A．命题“存在”的否定是：“不存在”.B．线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.C．存在，使.D．函数的零点在区间内.参考答案：D3.等比数列的前n项和为，已知，且的等差中项为，则=A．36 B．33 C．31 D．29参考答案：C4.已知若则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.∥，n∥

∥B.∥，，m∥nC.m⊥，m⊥nn∥D.n∥m,n⊥m⊥参考答案：答案：D解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D6.将函数的图像上的点按向量（其中）平移后得到点，若点在函数的图像上，则（

）A．，的最小值为

B．，的最小值为

C.，的最小值为

D．，的最小值为参考答案：C7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413参考答案：B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.如图正四面体（所有棱长都相等）D﹣ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD=30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．过D作DO⊥平面ABC，可得点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．进而得出答案．【解答】解：由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．过D作DO⊥平面ABC，则点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．不妨取AB=2，则MP′=，∴AP′==．sin∠P′AM==．故选：A．9.点在直线上移动，则的最小值是（）A.8

B.6

C.

D.参考答案：C略10.已知A为椭圆（a＞b＞0）上一点，B为点A关于原点的对称点，F为椭圆的左焦点，且AF⊥BF，若∠ABF∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[0，] B．[，1） C．[0，] D．[，]参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据∠ABF的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a．又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，设∠ABF=α，则|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα

…②把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，∴，即e=，∵∴∈[]，∴≤，∴≤sin（α+）≤1，∴．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为

．参考答案：0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），再把圆心C（1，﹣2）代入直线2x+y+m=0，能求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），∵直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，∴圆心C（1，﹣2）在直线2x+y+m=0上，∴2×1﹣2+m=0，解得m=0．故答案为：0．12.

参考答案：i13.已知集合，则的子集个数为

___▲____．参考答案：4集合，，则，则的子集是：，，，，共4个.故答案为：4.

14.已知函数若，则

.参考答案：或15.已知(x)=是定义在[a-1,2a]上的偶函数，则a=_______,b=________参考答案：

16.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=

参考答案：，

略17.已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知首项都是1的数列满足（I）令，求数列的通项公式；（II）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和.

参考答案：（Ⅰ）cn=3n-2（II）Sn=8-（6n+8）×()n．（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，

两边同时除以bnbn+1，得又cn=，∴cn+1-cn=3，又c1==1，

∴数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列，∴cn=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*．

（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0，∵b32=4b2?b6，∴b12q4=4b12?q6，

整理，得q2=，∴q=，又b1=1，∴bn=()n-1，n∈N*，an=cnbn=(3n-2)×()n-1，

∴Sn=1×()0+4×()+7×()2+…+(3n-2)×()n-1，①

∴Sn=1×+4×()2+7×()3+…+(3n-2)×()n，②

①-②，得：Sn=1+3×+3×()2+…+3×()n-1-（3n-2）×()n

=1+3[+()2+…+()n-1]-（3n-2）×()n=1+3[1-()n-1]-(3n-2)×()n

=4-（6+3n-2）×()n=4-（3n+4）×（）n，∴Sn=8-（6n+8）×()n．

略19.（12分）设二次函数，方程的两根和满足．（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小．并说明理由．参考答案：本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解析：解法1：（Ⅰ）令，则由题意可得．故所求实数的取值范围是．（II），令．当时，单调增加，当时，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韦达定理得，，于是．故所求实数的取值范围是．（II）依题意可设，则由，得，故．20.已知函数f（x）=1﹣﹣alnx（a∈R），g（x）=2x﹣ex（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）判断a＞1时，f（）的符号；（Ⅲ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（）的解析式，根据函数的单调性判断即可；（Ⅲ）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=2x﹣ex，∴x∈R，且g′（x）=2x﹣ex．∴当x＜ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的单调递增区间是（﹣∞，ln2]，单调递减区间是[ln2，+∞）．…（2分）（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣alnx，∴f（）=1﹣ea+a2（a＞1）．设h（x）=1﹣ex+x2，∴h′（x）=﹣ex+2x．由（Ⅰ）知，当x＞1时，h′（x）＜h′（1）=2﹣e＜0，h（x）在区间[1，+∞）单调递减，∴x＞1时，h（x）＜h（1）=﹣e＜0．∴a＞1时，f（）＜0，即f（）符号是“﹣”．…（Ⅲ）由函数f（x）=1﹣﹣alnx得，x＞0且f′（x）=．当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）没有两个零点，∴a＞0…（6分）∴f′（x）=﹣（x﹣）．∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．又f′（）=0，∴f（x）max=f（）=1﹣a+alna．…（7分）设s（x）=1﹣x+xlnx，∴x＞0且s′（x）=lnx，同上可得s（x）min=s（1）=0，∴当a＞0且a≠1时，f（x）max＞0，当a=1时，f（x）没有两个零点．…（8分）设t（x），则t′（x）=ex﹣1，∴x＞1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＞1时，t（x）＞t（1），即x＞1时，ex＞x．…（9分）当a＞1时，ex＞a，∴＜＜1．∵f（），∴f（x）在区间（，）上有一个零点，又f（1）=0，∴f（x）有两个零点．…（10分）当0＜a＜1时，1＜＜．∵f（）=﹣＜0，∴f（x）在区间（，）上有一个零点，又f（1）=0，∴f（x）有两个零点．…（11分）综上所述，实数a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.（本题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知

（Ⅰ）求证：成等差数列；

（Ⅱ）若求.参考答案：（Ⅰ）由正弦定理得：即

………………2分∴即

………………4分∵∴

即∴成等差数列。

………………6分（Ⅱ）∵

∴

……………8分又

………………10分由（Ⅰ）得：

∴

………………12分22.已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.参考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为