山西省忻州市贾家峁联校2021年高三数学理期末试题含解析

山西省忻州市贾家峁联校2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.表示不超过的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知，，则函数的零点个数是()A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：A2.四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（

）A. B. C. D.参考答案：B3.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C． D．参考答案：D【解答】解：由等腰梯形的知识可知cosB＝，设BP＝x，则CP＝﹣x，∴＝（）?＝＝1?x?（﹣）+（﹣x）?x?（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴当x＝时，取得最小值﹣．4.已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值可以是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：5.直线l：过点，若可行域的外接圆的面积为，则实数n的值为A．8

B．7 C．6

D．9参考答案：答案：A6.已知集合，集合，若向区域内投一点,则点落在区域内的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：D7.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数参考答案：D全称命题的否定式特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.8.与命题“若，则”等价的命题是

（

）A.若，则

B.若，则

C.若，

则 D若，则参考答案：D9.西安某区选派6名教师（其中4名男、2名女教师）到A、B、C三个乡镇中学支教，每个乡镇2名，且2名女教师不在同一乡镇，也不在C镇，某男教师甲不在A镇，问共有多少选派方法（

）A．24

B．18

C．12

D．9参考答案：B略10.已知i为虚数单位，若复数i为实数，则实数的值为（

）A．1

B．0

C．1

D．2参考答案：Ａ二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递减区间为_______参考答案：（0,1）答案不唯一略12.命题“存在，使”的否定是

。参考答案：答案：对任意使13.已知函数是函数的反函数，则参考答案：14.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为____________.

参考答案：略15.若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，则x2﹣y2的最大值为．参考答案：【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】令x2﹣y2=t，条件式两边同乘t，得到关于的方程，根据方程有解列不等式得出t的范围．【解答】解：设x2﹣y2=t，则6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2，即（6t﹣1）x2+6txy+（4t+1）y2=0，若y=0，则x2=，此时t=，若y≠0，则（6t﹣1）（）2+6t?+（4t+1）=0有解∴6t﹣1=0或36t2﹣4（6t﹣1）（4t+1）≥0，解得﹣≤t≤，当且仅当x+3y=0且y2=时，t取得最大值．故答案为．16.已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为

．参考答案：5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵x＞1，∴函数y=2x+=2x﹣1++1+1=5，当且仅当x=时取等号．∴函数y=2x+的最小值为5．故答案为：5．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．17.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；（Ⅲ）证明：当时，．参考答案：（Ⅰ）解：，

…………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因为，所以．

………………8分（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．

…………9分事实上，当时，．下面证明．法一：对任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：对任何，当时，；………10分当时，综上，．

………13分19.（本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1A⊥BC；（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的余弦值；

参考答案：（Ⅰ）连结AO，

…1分A1O⊥面ABC，是在面ABC的射影

…3分∵AO⊥BC

…4分∴

A1A⊥BC． ………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45°

………7分由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3…………8分∴A1O=3，AA1=3

………9分过O作OE⊥AC于E，连结A1E，则∠A1EO为二面角A1—AC—B的平面角

………10分 ∵OE=，∴tan∠A1EO=

………11分 即二面角A1—AC—B的余弦值为．

………12分略20.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（Ⅱ）设平面CBF将几何体EF-ABCD分割成的两个锥体的体积分别为VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

参考答案：解：（Ⅰ）如图，设FD的中点为N，连结AN，MN．∵M为FC的中点，∴MN∥CD，MN＝CD．又AO∥CD，AO＝CD，∴MN∥AO，MN＝AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又OM?平面DAF，AN?平面DAF，∴OM∥平面DAF．………………6分（Ⅱ）如图，过点F作FG⊥AB于G．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴VF-ABCD＝SABCD·FG＝FG．∵CB⊥平面ABEF，∴VF-CBE＝VC-BEF＝S△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．∴VF-ABCD：VF-CBE＝4．……………13分

略21.直棱柱中，底面是直角梯形，,．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）在上是否存一点，使得与平面与平面都平行？证明你的结论．参考答案：证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，

BC⊥AC．………………5分又，平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C．

…7分（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点．………8分证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…9分又∵DC‖AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP