随机过程在金融中的应用5平稳过程

第五章平稳过程第一节基本概念第二节平稳过程相关函数的性质第三节平稳正态过程与正交增量过程第四节遍历性定理第一节基本概念一、严平稳过程定义1若对任意n，任意则称为严平稳过程首页二、严平稳过程的特点1二维概率密度仅与时间差有关，而与时间起点无关。证同理有一维分布函数也与t无关，即一维首页对于二维概率密度，有证二维其中同理二维分布函数也仅与时间差有关，而与时间起点无关，即首页2若严平稳过程存在二阶矩，则证（2）相关函数仅是时间差的函数：记（1）均值函数为常数：只对连续型的情况首页记三、宽平稳过程定义2如果它满足：则称为宽平稳过程，简称平稳过程首页当T为整数集或注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。平稳时间序列因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。注3利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。首页因为均值函数协方差函数即表示协方差函数仅依赖于，而与t无关，与相关函数相同。首页例1试讨论随机变量序列的平稳性。且均值和方差为解因为注在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。首页试讨论随机序列的平稳性。例2是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，其中T={1，2，…}解的密度函数为所以注例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的返回首页性质1第二节平稳过程相关函数的性质一、自相关函数的性质证性质2证由许瓦兹不等式得注首页性质3证性质4即对任意的2n个实数证首页对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关，因此先给出平稳相关概念。二、互相关函数性质定义1平稳相关注两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于时，它们才是平稳相关的。首页证性质5

性质6证性质7证首页证性质8由性质7得而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证性质9则和也是平稳过程。其相关函数为则首页则积性质10也是平稳过程其相关函数为例1设有两个随机过程其中U和V是均值都为零、方差都为的不相关随机变量，试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相关函数。首页因为解所以同样可求得首页返回首页第三节平稳正态过程与正交增量过程一、平稳正态过程

定义1则称为平稳正态过程。注平稳正态过程一定是严平稳过程。证由于首页正态过程的n维特征函数为由过程的平稳性得所以对任一，有首页即是一个严平稳过程。即特征函数不因时间推移而改变。由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，说明对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。首页则称为正交增量过程。二、正交增量过程定义2有定理1且则首页证取其中则有即所以同样可得故返回首页第四节遍历性定理介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。

定义1一、基本概念称为沿整个时间数轴上的时间均值；称为沿整个时间数轴上的时间相关函数首页定义2若则称的均值具有遍历性；则称的自相关函数具有遍历性如果均值、相关函数都具有遍历性若则称具有遍历性，或者说是遍历的首页例1是否具有遍历性。解首页故有即此过程是遍历的。首页例2研究随机过程的遍历性其中Y为随机变量，且解因为Y为随机变量，且存在有限的二阶矩，所以由此知是平稳过程，由于不是常数故即不是遍历的首页

注遍历性随机过程一定是平稳过程，但平稳过程不一定具备遍历性。引理二、遍历性定理且则其中首页证由均方可积条件得所以首页为应用方便，化简上式令则于是首页定理1均值遍历性定理首页证由引理得从而故首页注则可表示为定理2自相关函数遍历性定理则相关函数具有遍历性的充要条件为首页其中证注则首页三、均值函数与自相关函数的估计式1求相关函数常用的两种方法：2未知的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。在实际应用中，的表达形式常常不能给出，因此下面介绍第二种方法。如果试验只在时间[0，T]上给出了的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式：首页用上式估计m与的方法，通常称为数字方法，或称均值与