垂直于弦的直径1

垂直于弦的直径

———（垂径定理）实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．●O如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE思考（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BDCAEBO.D想一想：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BDCD为⊙O的直径CD⊥AB条件垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论·OABCDE垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧①CD是直径②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的几个基本图形判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！

EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB

练习1OBAED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.O8cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是

。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是

。3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是

。

练习2ABOEABOEOABE方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABOE例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。讲解AB.O垂径定理的应用2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.作业评讲如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB、OM的长。解：连接OA在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是Rt△∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：∴∴AB=2AM=2x8=16弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫做弦心距如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OC⊥AB圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=

。OABP练一练24mm已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE练一练注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d线段加减圆弧加减1、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求证：AC=BD。

⌒⌒FE解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于点G交AB于点F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E4、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

2、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。MAPBOA再逛赵州石拱桥如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设知在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2R-7.218.71300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d线段加减圆弧加减1、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求证：AC=BD。

⌒⌒FE解：过点O作OE⊥CD，交CD于点E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于点G交AB于点F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒练一练在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600变形题在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DC如图：在直径是20cm的两条半径的夹角是中，，那么弦AB=

，点O到弦AB的距离OD=

。如图：在直径是20cm的两条半径的夹角是中，，那么弦AB=

，点O到弦AB的距离OD=

。练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。H方法规律

想一想已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径R=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径R=2，OE=1，求AB、DE的长.⑶由⑴、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？解这个方程，得R=545.例1。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。EODCF解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE┴CD∴CF=CD=x600=300(m).根据勾股定理，得OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以，这段弯路的半径为545m11.矩形ABCD与圆O交A,B,E,FDE=1cm,EF=3cm,则AB=___ABFECDO5cm挑战自我画一画4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGH2.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,DC⊥AB于E,则下列结论不一定正确的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC3.已知⊙O半径为2cm,弦AB长为cm,则这条弦的中点到这条弦所对的劣弧中点的距离为()A.1cmB.2cmC.cmD.cmCA探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。驶向胜利的彼岸由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,⌒⌒⑤AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．·OABCDMCD⊥AB,由CD是直径AM=BM⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.可推得推论：垂径定理及推论直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?()错●OABCDM└垂径定理及逆定理想一想P919●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.试一试P9312驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√√一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。C(4)ABOABCDO(5)ABCDO(6)E判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧辨别是非挑战自我垂径定理的推论

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.例２．已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.E5432解：（1）AC=CB，OC是半径（已知）OCAB(如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）ADO=90OAB+AOC=90OAB=90-35=55例一、如图所示，C是AB的中点，OC交AB于点D，AOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度数（2）AB的长ABCDO(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦)解：（2）AC=CB，CD经过圆心O（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cm例一、如图所示，C是AB的中点，OC交AB于点D，AOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度数（2）AB的长ABCDO变式提高OABC（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD的长。（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,AD=9,求⊙O的半径。DBACDO(1)解：连结OB,延长AD，则必过圆心O。若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x在RtΔABD和RtΔOBD中，BD2=AB2－AD2=OB2－OD2即（10－x）2－x2=4.52－（4.5－x）2解得x=4即AD=4已知P为内一点，且OP＝2cm，如果的半径是，那么过P点的最短的弦等于

.2.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于()A.1cmB.2cmC.CmD.D垂径定理的应用解法训练:二、请你选择正确的答案1.同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的半径之比为()A.3:2B.:C.:2D.5:42.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦CD=16,则A,B两点到CD的距离之和等于()A.24B.12C.16D.6BB垂径定理的应用解法训练:二、请你选择正确的答案ABEFCD.O.OABCDEF已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AE⊥CD,垂足为E.BF⊥CD垂足为F.求证：EC=DF已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE⊥CD,DF⊥CD求证：AE=BFGG一题多变达标检测一、填空1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是——5、⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——14cm或2cm25cm10cm和40cm103cm4.如图,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O的半径为()A.4cmB.5cmC6cmD8cm5.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为

.6.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,BE=2cm,∠CEA=30°,则CD长为

.BF8.已知:如图,AB,CD是⊙O直径,D是AC中点,AE与CD交于F,OF=3,则BE=

.9.如图,DE⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则CD=

,OC=

.10.已知⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16,则弦AB与CD的距离为

.6942cm或14cm

3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为

cm；

能力提升：若遇下雨天，管内污水水面上升了70cm，则污水的水面宽AB=

cm；