六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积

第第页共14页六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积圆规和直尺圆规和直尺一块儿住进了文具盒。圆规说：“我能画圆，你行吗？”“我横竖都会画，你行吗？”直尺很不服气。文具盒听了，说：“别争了，谁能画一面扇形，谁就最行。”规规和直尺都为难了。文具盒又说：“你俩一块儿合作，不就行了吗？”圆规和直尺同心协力，很快画好了扇形。从此，它们成了好朋友。编后语：圆规和直尺各有自己的长处，也各有自己的不足，两者是不应互相瞧不起的。后来，由于双方的真诚合作，充分发挥了各自的优势，创造了许多新的事物。这则寓言告诉我们这样一个道理：一个人的智慧和力量是有限的，众人合作就会创造出新事物，新生活。等知识框架圆的知识：.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点。叫做这个圆的圆心..连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的 半径..连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径..圆的周长与直径的比叫做圆周率.上周上任意两点间的部分叫做弧..圆周长=直径X九半径X2冗 圆面积=冗半径2.扇形的知识：.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形 .顶点在圆心的角叫做圆心角..我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这TOC\o"1-5"\h\z2 4 6个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是 袅.360.扇形中的弧长=nl.扇形的周长=nl+2r.扇形的面积="=》「.180 180 360 -弓形的知识：【例1】弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积.（除了半圆”重难点重点：圆与扇形的面积和周长计算公式；弓形的面积公式。难点：计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。计算面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。例题精讲【例11将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置（小圆过大圆圆心），那么阴影部分的周长是多少厘米?法1;阴影部分的局长二大半圆弧长+小半圆弧长十两条线段的长"=大半圆弧长+小半圆弧长十（小圆直径一大圆半径）+大圆半径法2:阴影鬻分的周长二大半圆周长+小半圆周长-2x大半圆半径【答案】阴影部分的周长=2ttx2x-+27TX3x-+（3-2）+3=5tt+4=197（厘米）2 2【巩固】如图所求，圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.（3.14）［解析】诳圆的半柱为『出］圆面孤即长方形面都为故长方彩的长为^二斯C1 S .阴影部分周长=DC¥BC+EA+AD二兄fN（仃一门+—w2仃=—x2仃=士工附4=州,5（反来）C 4 4 4【冬会】20.5度来【例2】在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。请问：大圆周长与所有小圆周长之和哪一个更长？【解析】设五个圆的直径分别为小，％,（I?,必，九,则&二丁+缶+亳+必所有小圆周长的和=ndi十口的十+nd4=n（di+d24-<l3+山）=irds=大圆周长【巩固】已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。［解析］各圆周长的和=直径为5。厘米的大限的周长u【答案】各圆周长的和=50?尸157cm【例3】夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示,捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）

【解析】捆每一国的绳长可分解为四段相等的弧长与图段相等的线段长.捆每一圈的四段弧长可以拼成一外整每条戏段的长度都等于直径的长度”总绳长二（7M+7兀）x+（厘米）=（28n+112）（厘米）=199.92｛厘米）【巩固】有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少?捆每一胤的翅长可分解为6段相等的孤长身8段相等的线网长，捆哥一圈的ts式弧长可以拼成一个整圃,每条线我的长度都等于直屈的法度总绳长:5x6+5丸（厘表）【孝我】总随长=5父6+近（屋米）M57（厘表）【例4】三个半径为100厘米且圆心角为60o的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是厘米.（兀取3.14）【解析】三个扇彬的孤装相当于半咎100层米，网心廊为180度得扇格孤卷，2X工14X网=314匣米360

【巩固】分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心， 以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是 厘米.（取3.14）【解析】每段弧长为六分之一圆弧，因此阴影的周长二去个六分之一圆弧的长度和二一个圆的周长二2x2x3,14=1256厘米【例5】求下列各个阴影部分的面积；（答案用冗表示即可）44(1)阴影面枳三扇形面枳三角影面枳f62x工一6x3+2=9ir-94(2)阴影面积M扇形面积一三角形面积5产><：-4><4+2=如一8(3)阴影面积二(扇形面积一三角形面积)x2或者阴影面枳三扇形面枳x2—正方形面积x-x2—4x4=8it—16(4)阴影面积二扇形而把一半圆面枳=tt22x--nFx~=-it2.(5｝阴影面枳二正方形面积扇形面积=4X4-ti42M工=16-4k4【巩固】下列图形中的正方形的边长为4,求各个阴影部分面积的大小；(答案用R表示即可)(1)阴影面积=4倍叶子的面春=4X(2X2-K22*4)=16-4tt(2)阴影面积=正方形面积1个圆面积=4X4— =16—411【例6】在直角三角形中，已知三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，以三角形的顶点为圆心的三个圆，半径长都是1厘米，求图中阴影部分的面积。()

阴影面积二直向三角形面积减去三个扇形面积之和三个扇型面积之和二半径为1的圆的面料【答案】阴影面积=3x4子2—nx仔=6—五（厘米）=3（厘米）【巩固】图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量，计算出图中阴影部分的总面积。【解析】先求出篇形的半径三个小扇形和在一起是一个角度为3瑟90二270度的扇形【答案】阴影部L的面枳=25.12L3,14^2）2乂吏二小=37.68（平方厘.米）（I【例7】两个圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分面积相等，求长方形ABOO的面积。（九取3）【解析】直接去求，设阴影部分的面积为a,财长方形ABO。’的面积/XTTXl2H--xjrxl2-a+a=二管=0.5平方厘米4 4 2【巩固】下图中，正方形的边长是5cm,图形的总面积是多少？（冗取3）【解析】一个圆的面积十四分之三园的面积十（正方形面积.四分之一^的面积）二一又二分之一圆面积十正方形面积=37,5汨25=137.5平才厘米【例8】如下图所示，AB是半圆的直径，。是圆心，，M是的中点，H是弦CD的中点.若N是0B上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米.AONH由于C，D是半圆的两个三等分点।M走面的中点，H是弦CD的中点『所以这个图母是对稗的，由对■林性可和CD与AB平行,所以，三角影CHN和三角用CHO的面仑相等,所以阴影部分的面积等于扇用COD的面枳的一半一面扇秘CQD的面耙又等于半国面积的三分之一，所以阴影部分的面积等于平置的关分之一『为12+6=2平方圆米【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，0是圆心，且半径为6.求图中阴影部分的面积.选接。C.OD,CD由于由于C、D是半回的两小三等分点，所以三色用AOC和三角形COD都是正三角形，邠么CU与AB平行，所以三用形AOC和三角形COD的面枳相等，那幺所以阳移杂分的面枳等于扇布COD的百自，为nx6ZX==67T=18B4【例9】图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，角ABC等于30°,求阴影部分的面积()连接CO一则阴影部分的田和二平行四边彬ABCD的而枳一扇形AOC而积一三病号COB面积阴影部分的面积=7—乙XrrXZ?-iX7----jc=3.25平方厘米6 4 4 3或者是附影部分的面积芸-QXitX22-1XnX^)=Y-^=3.25平方厘米【巩固】三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6CM,BD:DC=3:1，求阴影部分的面积。【解析】三角彩ADC的面枳二四分之一三角形ABC的面枳=31,274=7,8三角形AOD的面积=二分之一三角影ADC的面积=3・9阴影面积h三分之一圆-里上乳-3.9=5.52平方厘米【例10】每个小圆的半径都是1,求阴影部分的周长和面积【解析】由小圆的半径可以推出大圆的半径为二阴影部分的面积二大圆的面积减去7个小回的面积=k32-irXl2X7=2n=6.28阴影部分的周拄二大圆的周共加上7个小圆的周长=2irx3+2irxlx7=207T=62.8【巩固】正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以ABCD为圆心，以ADBECFDG为半径画出扇形，得到下图，的阴影部分，求阴影部分的面积和周长。【解析】阴影部分的面枳为四个扇形的面枳和，阴影部分的周长为四个师分之一圆弧的和+一个正方形的边长.忸激部分的面积3X314x(I2+22+32+42>23,55平方厘米阴影部分的周长，X2X3A4X(1+2+3+4)+1X4=19.7厘米4“课堂检测1、下图是三个半圆（单位：cm）,其阴影部分的周长是多少？E解析】阴影部分的周长=三个半圆的周代相加【答案】阴影部分的周长二（】03143/]3元）=2=13u2、一个人要从A地到B地（如图），有两条路可走，是按哪一号箭头所走的路线近一些？为什么？两条路线相等。设五个团的直径分别为屯，d2, 4，则d4=di+dw+d32号路线=（irdi十irdz+ird3）仲2=ir<di4-d2+d3）+ZfcU+2=1号路线【答案】一样近.3、如下图所示，平行四边形ABCD的面积是40求图中阴影部分的面积（解析]连接BD三角形BDC面积=20因为O为DC中点，三角形BOC面积为三角形BDC面积的一半等于10cm24、图中三角形是等腰直角三角形，阴影部分的面积是多少平方厘米?从感中可以看出朋蚓部分的面轨是两个半固的面枳与三扇四面锐之甚，即3.14«（b+ --xt1=10.262£温？复习总结在解决圆与扇形的周长和面积时，首先要找到所求图形的周长（或面积）是由哪几部分组成的，再利用公式去解决问题。G哼家庭作业o1、AB是圆的直径，C、D是AB上两点且AC=CD=DB=3厘米.求阴影部分的周长【解析】阴影部分的周长三2个直径为6的半圆的版长十2个直径为3的半圆的弧长【答案】阴影部分的周长=6n+3tt=9立=28.26（.厘米）2、如图所示，连接六个半径为3厘米的小圆的圆心组成一个六边形，求六边形内阴影部分面积。

【解析】利用六边形的内俗和为720度.相当于两个小圆的面积“阴影部分面积=71X3?*婴二18H（平方厘米）36U3、如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形.（圆周率取3.14）【解析】六个小扇形都是圆心角为120度得扇形.阴影部分的面积二正六边形面积减去六个小扇影的面=1040-344x102X—x61040-628=412平方厘米3604、如图所示，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长是厘米.（保留两位小数）速结BE、CEJJ%三CE=BC=I；屋米）.故三角形BCE为等边三角形，于是=ZBCE=W.映式企603.14xlx——=1.0