吕琢教育部北师大基础教育课题研究

教育部北师大基础教育研究中心北京师范大学高等教育学与管理博士中国教育科学研究院教育部课题组研究中心组长吕琢课题研究小组组员39个专家学者电话箱：吕老师1285289474@

中考数学复习的设计策略走近2010年数学中考高考是我国基础教育的一种选拔性考试，它与高考相比，其参加人数更多，涉及面更广，对基础教育的影响更大。可以这样说，中考在很大程度上影响着当地初高中教学质量和学生的素质发展。因此，各级教育行政部门和教研机构都非常重视中考试题的导向作用。自从我省2011年作为国家级实验区进入新课程以来，伴随着课程标准的实施，数学教材在内容的选取、体系的构建和处理的方法等方面都有很大的变化。相应的，这些年来，江西省的中考命题也发生了很多的变革，特别是命题从知识立意向能力立意的转变，这几年来的江西省的中考试卷一直得到各地及教材组的专家的好评。前言前言如何高效地进行中考数学的总复习呢？我在2012年5月26日北师大《新世纪初中数学网络研修》举行的专题“九年级复习课专题研讨：高效复习教学经验谈。”和一些学校的老师进行网络研讨。主要有：主备课学校：湖北宜昌六中周清华其它参与学校：成都七中育才学校魏进华山西河津第三实验中学薛翠平河南平顶山14中王广树重庆市珊瑚中学曾畅太原第二外国语学校数学组教材组参加人员：高峻老师主持人：杨继明下面就结合教学经验及回访交流中得到的信息，和与会代表交流在复习课的教学方面的设计策略。设计策略一立足于课标与考试说明，抓学生的知识结构中考有30%的基本题、50%的中档题，考试的成败主要取决于这些题目的解答情况，因此在中考总复习中，必须关注基础知识的落实，对基础知识的灵活运用就是能力，抓住了基础就能以不变应万变。设计策略一要落实基础知识，教师首先要明确复习课要复习的内容，这部分内容在初中阶段是在哪几个学段学习的，如何将这些不同阶段学习的知识串起来，不同阶段的要求是否有差异等，要通过复习，将学生头脑中孤立的、零碎的知识梳理好，明确这些知识要不同阶段学习的特点，以及他们的内在联系，使得它们形成某种组块，便于学生的整体认知，使得相关知识系统化、条理化，促进学生的理解，帮助学生建立良好的认知结构。设计策略一正如布鲁纳在《教育过程》中指出：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联结在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命”。设计策略一例如，复习《统计》章节，由于统计的内容分别七、八、九年级不同的阶段都有学习，教师要将这些知识，以网络、图表或列表的方式串起来，这部分一方面可以交给学生以小组的方式完成，教师指导或课堂交流，通过学生自我总结，完善知识结构，更有利于学生建立良好的知识结构。这部分内容，在中考中的题型可有单项选择题、填空题、计算题、解答题．从我省命题看，相关问题多为解答题，试题位置、分值相对稳定，问题背景却与生产生活实际联系紧密。设计策略一设计策略一江西省的中考中，2006年—2009年统计的试题均以解答题的形式进行了考核.例1．（2007江西）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：

方案1所有评委所给分的平均数。

方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数。

方案3所有评委所给分的中位数。

方案4所有评委所给分的众数。

设计策略一为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。设计策略一例2．（2008江西）为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字，但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：（1）结合上图提供的信息，就甲、乙两同学分别写出两条不同类型的正确结论；（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，当所圈出的实际字数为100个时，请你用统计知识分别预测他们估计字数的偏差率，并根据预测的偏差率，推算出他们估计的字数所在的范围．偏差率的计算公式：例如，圈内实际字数为80个，某同学估计的实际字数为65个时，偏差率为．显然，偏差率越低，字数估计能力越强．20偏差率（％）第1次151050第2次第3次第4次第5次次数甲同学乙同学设计策略一设计策略一例3．（2009江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：A：4.14.85.44.94.75.04.94.85.85.25.04.85.24.95.25.04.85.25.15.0B：4.54.94.84.55.25.15.04.54.74.95.45.54.65.34.85.05.25.35.05.3（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：设计策略一优等品数量（颗）平均数方差A4.9900.103B4.9750.093（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好设计策略一小结:考查对数据处理（表示、分析）的基本方法、基本技能的理解和掌握；通过对数据的分析来估计总体的统计思想、或对某些实际问题作出合理的决策、对某种统计方法提出质疑等考查学生的统计观念；设计策略一建议:教学中要注意所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。立足于课堂教学，抓学生的复习效率设计策略二在课堂教学中，教师要对知识的引入，新旧知识的衔接、例题的选择、学生知识现状学生对知识的接受能力，复习课上教师注意“以题代点、以题论法”，合理的安排讲练的时间，注意知识的纵横联系，注意教学基本思想的渗透，注意基本方法的训练，注意总结出学习的规律性，充分发挥课堂效益，尽量把问题解决在课堂。设计策略二1、串知识点[片段一]问题引入：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的两点，（1）若DE∥BC，则△ABC～△ADE，请说明理由。（2）请你添加一个条件，也使△ABC～△ADE。解：（1）生：方法一∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C∴△ABC～△ADE生：方法二∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，又∵∠A＝∠A∴△ABC～△ADE设计策略二（2）生1：可添加一个条件：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或；

生2：也可添加一个条件：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或。设计策略二对比与其他教师在上这节复习课时，很多都会一开始提问：判定三角形相似有哪些方法呢？学生回答：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似。很显然，这种提问只是一种知识的简单重复和记忆，学生不用动任何脑筋即可回答，学生自然没有兴趣，也不利于学生的思维发展。而[片段一]则巧妙地将三角形相似的判定方法蕴涵于一个题目当中，同时通过变式，让学生举一反三，加深了对三角形相似判定方法的理解，开拓了学生的思维，有很强的实效性。设计策略二[片段二]师：请同学们思考，问（2）中学生1所添加的三个条件实际上都保证了什么？他们有什么内在的联系？生：DE∥BC师：也就是说只要保证了DE∥BC，则始终有△ABC～△ADE，同时几何画板拖动点D在直线AB上移动，学生观察各种平行位置的△ABC～△ADE。设计策略二请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论。解：（1）图象的开口方向:（2）顶点坐标：（3）对称轴： （4）图象与x轴的交点：（5）图象与y轴的交点为： （6）增减性：（7）最大值或最小值： （8）y的正负性：（9）图象的平移： （10）图象在x轴上截得的线段长（11）图象与y轴的交点关于对称轴的对称点坐标：设计策略二2、串图形基本图形：45oD30o45oABC45oBCA45o45oCAB45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻转BCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oDBCA45o60oD旋转E45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋转60oD平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD30oCAB45oD30oCAB60oD

3.串“典型图形”设计策略二设计策略二组合一：例4．(湖北省十堰市2008年)海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．30oCAB45oD45oCAB

例5.如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.D60°45°ABCBC

100米DBCA45o45oCAB60oD60oD45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB45oCAB翻转组合二：设计策略二设计策略二组合三：BCA45o60oD例6．(2008年湖北省襄樊市)如图8，张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点离地面的高度为

米（结果保留根号）．设计策略二例7．(2008年河南省)如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）BDC60ºAE30º50mM45oABC45o45oCAB60oD45oCAB60oD45oCAB60oD45o60oABDC旋转60oD平移60oD60oD60oD60oD60oD60oD问题1楼房AB的高度是多少?问题2楼房CD的高度是多少?设计策略二小结:通过知识点的串联、图形组合的串联、认知结构的串联等，可以充分让学生体会其中的联系与变化，抓住问题的本质，从而达到对知识的全面复习。注：如果可以，将以上的问题可以放得更开些，形成系列问题，一个个抛出，让学生形成思维上的深层思考，进一步加深学生探究的兴趣设计策略二测底部不能到达的物体高度设计策略二设计策略二测底部不能到达的物体高度设计策略二设计策略二设计策略三立足于教材，抓习题的变换

在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸，拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。在我们的教学过程中，一方面要善于引导学生积极进行探究，养成主动探究的习惯，而不是为探究而探究。另一方面更要善于捕捉时机，随时从学生的疑问中发现问题，从而开展探究，提高学生的综合分析能力与解决问题的能力。设计策略三下题是我根据课堂上学生提出的疑问而形成的一个综合题的例子。产生的背景：习题课上，教材P68问题解决的习题，学生提出如下问题：周长是定值时，当长与宽相等时，围成矩形的面积最大，即此时的矩形为正方形。当这个矩形一边靠墙时，如果要保证面积最大，长与宽就不等了，是不是有什么关系呢？我与学生一起对这个问题进行了深入的探究，从而形成这样一个综合题。设计策略三例10．问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图1，用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的2倍时，菜园的面积最大。如图2，用一段长为100米的篱笆围成二个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的3倍时，菜园的面积最大。设计策略三设计策略二然后运用类比的思想提出了如下命题：如图3，用一段长为100米的篱笆围成三个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的4倍时，菜园的面积最大。任务要求⑴请你从三个命题中选择一个说明成立的理由，并求出此时菜园的最大面积是多少。（说明：选①做对的得3分，选②或③做对的得4分）⑵请你继续完成下面的探索：如图4，用一段长为100米的篱笆围成四个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(4分)设计策略三如图5，用一段长为100米的篱笆围成n个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(不要求解题过程,直接写答案)(2分)设计策略三这样的情况，经常在我的教学中出现，往往是由于学生发现的问题或提出的问题，为解决学生的疑问，从而形成了深入的探讨。例11．如图1：Rt△ABC为一钢板余料，∠C=90°,AC=40cm,BC=30cm,现需如图所示截出一个矩形CDEF，如何裁剪才能使矩形CDEF的面积最大？教材P67的情景引入设计策略三探究一：如图2：Rt△ABC为一钢板余料，∠C=90°,AC=40cm,BC=30cm,我们现如图2所示截出一个矩形DEFG，那么这时又该如何裁剪才能使矩形DEFG的面积最大？最大面积还会是△ABC的面积的一半吗？所截得的线段还会是△ABC的中位线吗？设计策略三探究二：如图3，在一块三角形ABC的余料中，如图所示截出一个矩形，如何裁剪使矩形DEFG的面积最大。设计策略三例12.如图是一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，现准备在黑板四周镶上木质边框。⑴若在其四周镶上宽为10cm的木质边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由。教材P123做一做设计策略三⑵若小明已在黑板的左右两边镶上15cm宽的木条，为了使黑板四周镶上木条后，边框内外边缘所成的矩形保持相似，那么小明应在黑板的上下镶上多宽的木条？⑶小红打算在黑板的左右两边镶上acm宽的木条，上下两边镶上bcm宽的木条，那么当a、b满足什么条件时，边框内外边缘所成的矩形保持相似。设计策略三设计策略三小结：一个学生的综合能力的培养，并不是一朝一夕的事，往往需要我们在平时不断地创造机会，提高学生的发现问题，提出问题的能力，只有这种能力的提升，才会有解决问题的愿望，从而使学生的能力真正得到提高设计策略三建议：在中考复习教学中，解题训练是极为重要的，但习题演练的关键不在题量，不是简单机械的重复训练和题海战术，解题训练要有一定的系统性、针对性，有明确的考察目标和培养方向。在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性。设计策略四立足于反思，抓解题的本质

中考数学试题形式和知识背景千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的。要处理好“通法”和技巧的关系，在学习中不应过分地追求特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题上。应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上通过寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性。设计策略四例如：如图（6），O为正方形ABCD内一点，过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E，F，G，H，求证：EF=GH。

图（6）设计策略四1．横向变化：图（7）图（8）变式1：在例题中，如果将点O移动到正方形外，如图（7），其他条件不变，是否还类似的结论？结论如何表述？设计策略四解决变式1后，再对例题进行变化，提出如下问题：变式2：如图（8），已知O为矩形ABCD内一点，过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E，F，G，H，则EF与GH又存在着怎样的关系呢？变式3：把点O移到矩形ABCD外（如图9）是否还有同样的结论？结论又该如何表述？图（9）设计策略四类似地，我们还可以进一步探究如下，如把矩形改为平行四边形，是否还有类似的结论？结论该如何表述呢？如果点O在平行四边形的外面呢？在平时的复习教学中，我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的，具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题，，必能优化学生的知识结构，提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。设计策略四2．纵向变化：图（6）设计策略四3．思维延伸：设计策略四例13（2006·江西）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=60°，则BM=CN；②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=90°，则BM=CN．设计策略四然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=108°，则BM=CN．设计策略四任务要求（1）请你从上述①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正n（n＞5）边形ABCDE…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM，CE相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）设计策略四②如图5，在正五边形ABCDE中，当M、N分别是DE、AE上的点，且BM与CN相交所成的一个角为108°时，BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．设计策略四小结：一个综合问题的解决，我们一定要给学生充分思考回味的过程。也就是让学生有个反思的过程，体会解决问题的本质，从而得到真正的方法。设计策略四建议：教师在中考备考的过程中，选题的时候一定要抓住典型，特别是要处理好通法与特殊技巧之间的关系。我在教材回访的过程中，经常有教师提出疑问：为什么解一元二次方程的方法中没有十字相乘。这就是解一元二次方程的通法与特殊技巧方法之间的差异，求根公式是解一元二次方程的通法，所以必须熟练掌握，而十字相乘技巧性太强，所以并没列入新课标的要求范围内。所以我们要明确这些要求，才能做到有效复习。设计策略五立足于数学思想，抓综合运用

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。设计策略五实验与探究：（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2），

，

；设计策略五（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（D点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；设计策略五归纳与发现：（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你