第八章数值积分与数值微分

数学与统计学院数值方法武汉大学数学与统计学院基础数学系刘丁酉

liudingyou487@163.com主页8.1Newton-Cotes求积公式8.2复合求积公式8.3Romberg求积公式8.4自适应积分法8.5Gauss型求积公式§8 数值积分与数值微分数学与统计学院主页§8.1 Newton-Cotes求积公式8.1.1梯形公式和Simpson公式8.1.2插值型求积公式8.1.3代数精度8.1.4Newton-Cotes求积公式8.1.5开型Newton-Cotes求积公式8.1.6Newton-Cotes求积公式的数值稳定性数学与统计学院主页§8.1.1 梯形公式和Simpson公式

积分只要找到被积函数f(x)原函数F(x)，便有牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式实际困难：大量的被积函数（,sinx2等）,找不到用初等函数表示的原函数；另外,f(x)是（测量或数值计算出的）一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。积分中值定理：在[a,b]内存在一点，有

f()成立。就是说,底为b-a而高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积.数学与统计学院问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f()的值．我们将f()称为区间[a,b]上的平均高度．这样,只要对平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法．

如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f()的近似值，这样导出的求积公式:

便是我们所熟悉的梯形公式.

而如果改用区间中点的“高度”f(c)近似地取代平均高度f()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：(8.1.1)(8.1.2)数学与统计学院数学与统计学院主页2、把[a,b]二等分，作2次插值，有此公式称为辛普森（Simpson）公式。Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值似值而获得的一种数值积分方法。定理8.1.2（梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为定理8.1.3（辛卜生公式的误差）设在[a,b]上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为数学与统计学院近似计算思路利用插值多项式则积分易算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由决定，与无关。节点

f(x)插值型积分公式误差§8.1.2插值型的求积公式关键是f(x)数学与统计学院数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了代数精度的概念.

定义1如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．一般地，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，这就要求§8.1.3代数精度数学与统计学院例1：考察其代数精度。

f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入

P0=1：=代入

P1=x：=代入

P2=x2：代数精度=1例2

试构造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0数学与统计学院解:令公式对

f(x)=1,x,x2

均准确成立,则有3h=A0+A1+A2h2=0+

A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.9434f(x)dxf(0)+f(2h)3h43h43h0由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;而当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边右边,说明此公式对f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.814数学与统计学院中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式其中插值多项式求积系数

这里是插值基函数。即有§

8.1.4Newton-Cotes求积公式在插值求积公式数学与统计学院将积分区间[a,b]划分为n等分,步长求积节点为为了计算系数Ak,由于,所以作变量代换当时,有,于是可得数学与统计学院

(k=0,1…,n)

代入插值求积公式(6.4)有称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数引进记号

(k=0,1…,n)

则数学与统计学院容易验证

∵

∴

显然,Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬如当n=1时数学与统计学院当n=2时

P233表8.1给出了n从1～8的柯特斯系数。

当n=8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。

数学与统计学院数学与统计学院§8.1.5开型Newton-Cotes求积公式在求积公式中，节点并假定若那么求积公式称为闭型求积公式，如果则称求积公式为开型求积公式。考虑等距节点，令用作为求积的节点，那么有（8.1.19）其中为节点上的n次插值基函数。公式（8.1.19）称为开型Newton-Cotes求积公式。数学与统计学院§

8.1.6Newton—Cotes求积公式的数值稳定性某个求积公式设的近似值为，的舍入误差，即f(xk)的误差对数值积分的结果影响较小，则称该数值求积公式是稳定的；否则，若影响较大，则称为不稳定的。数学与统计学院以下推导说明Newton—Cotes公式的数值稳定性

数学与统计学院8.2.1复合梯形求积公式8.2.2复合Simpson求积公式数学与统计学院§8.2复合求积公式

对于定积分其精确值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）计算有用Simpson公式（3.1.7）计算可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积方法。本节讨论复合梯形公式和复合Simpson公式。高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

复合求积公式。数学与统计学院§8.2.1复合梯形求积公式x0x1xf(x)x2hhx3hhx4数学与统计学院数学与统计学院复合梯形公式：数学与统计学院即分段用Simpson公式再求和可得复化Simpson公式.§8.2.1复合Simpson求积公式

x0x2xf(x)x4hhxn-2hxn…...hx3x1xn-1数学与统计学院44444数学与统计学院复合Simpson公式：数学与统计学院例：若用复合Simpson公式计算积分问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果有4位有效数字？数学与统计学院如果用复合梯形公式计算，则由误差公式数学与统计学院注意到区间再次对分时数学与统计