空气动力学基础- 流体动力学

空气动力学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月第2章流体动力学和运动学基础第2章流体运动学和动力学基础2.1描述流体运动的方法2.2流体微团运动的分析2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程2.3.2Euler运动微分方程组2.3.3Bernoulli积分及其物理意义2.3.4Bernoulli方程的应用2.4流体运动积分方程组2.4.1Lagrange型积分方程2.4.2Reynolds输运方程2.4.3Euler型积分方程§2.5环量与涡

§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法根据连续介质的假设，流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）§2.1描述流体运动的方法用如下方程描述质点（a,b,c）所经历的轨迹：

x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，一般可用质点的初始坐标表示;t

表示时间。

a.b.c.t称为拉格朗日变数。

a.b.c

给定，表示指定质点的轨迹。

t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。上式就是质点（a,b,c）的轨迹参数方程，三式消去得轨迹··§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法因为质点的坐标位置是时间

t的函数，对于给定的流体质点（a，b，c），速度表达式是：流体质点的加速度为：§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法这里使用偏导数是因为坐标同时是时间和质点标号的函数，求导时要求a,b,c固定不变，即求导是针对同一流体质点的。流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。例如流体质点（a,b,c）的温度可表为T(a,b,c,t)2、Euler方法（Euler方法，空间点法，流场法）Euler方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法x.y.z.t称为Euler变量，是四个相互独立的变量。x,y,z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t给定，x.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法在固定空间点记录流过的不同质点的速度上式既描述了某一瞬间各点的流动情况，也描述了不同瞬间的流动参数在各点的分布情况。这种描述法称为Euler法。

请注意，x,y,z,t是四个独立变数。如果不另外赋以意义，则不能有这类的表达式。应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度。§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法流场flowfield一个布满了某种物理量的空间称为场流体运动所占据的空间称为流场除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场，否则为非定常场，例如，定常速度场的表达为：§2.1.1拉格朗日方法与Euler方法Euler观点下如何表达加速度？如下4图来定性描述引起各处速度变化的原因：流体质点从A流到B速度不变；A点与B点因水位下降引起速度同时减小；流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。§2.1.2Euler法的加速度表达式水位下降---------流场的非定常性，管道收缩---------流场的不均匀性。引起流体质点速度的变化主要来自以上两方面的贡献用Euler法来描述一般的非定常流场时，关于加速度要强调两点。A（x，y，z）点上t

瞬时的流体微团的速度是时间的函数，所以速度可以随时间变化。原在A点的微团经Δt后到了B点，若B点的速度与A点的不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化。§2.1.2Euler法的加速度表达式§2.1.2Euler法的加速度表达式设在t

瞬时，位于A（x，y，z）点的一个微团具有速度u，v，w。经Δt时间后，该微团移到令：经Δt之后，u

变成u+Δu:将变化前后的速度表达相减，略去高阶项，仅保留一阶项，得此式右侧第一项是微团在（x，y，z）处其速度随时间的变化率，即当地加速度。后三项是由于微团流向速度不相同的邻点而出现的速度变化率，即迁移加速度。注意上式并非全导数的表达（在微积分中当复合函数只是一个自变量t的函数时才有全导数），因为在Euler观点下x、y、z等与时间t无关，不能写出dx/dt的表达。§2.1.2Euler法的加速度表达式算子：

Materialderivative：往往用D/Dt这样一个符号来表示。这个导数称为随流体运动的导数，或称随体导数、实质导数或物质导数。从而上述加速度可以写成：

同理：§2.1.2Euler法的加速度表达式需要指出，上述加速度仍然是空间坐标和时间坐标四个独立变量（x,y,z,t）的函数：§2.1.2Euler法的加速度表达式将上三式分别乘再相加可得加速度表达的向量式：Hamilton算子随体导数算子：除可作用于速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强

p，有：Remark

由于在Euler观点下，x,y,z,t

是四个独立变量，一般不能写出dx/dt

的表达，因此上述表达并非数学上的全导数。但在物理上，上式仍然表示质点压强在运动过程中的时间变化率，只是在场的观点下将这个变化率写为当地变化率和迁移变化率称为随体导数。§2.1.2Euler法的加速度表达式因此Euler法与拉格朗日方法表示的加速度实质上是一致的，据此我们也可以利用拉格朗日观点下对流体质点求全导数得到质点的加速度后，再转化为Euler法的加速度表达。例：在拉格朗日观点下沿轨迹线对质点速度求全导数得流体质点的加速度为：§2.1.2Euler法的加速度表达式Euler法表示的流场速度和加速度实质上显然是指该瞬时恰好通过该点的流体质点所具有的速度和加速度：代入即得Euler法下的加速度表达在不引起误会的条件下，也有将随体导数表为的。随体导数与全导数实质上是瞬时统一的，前者采用场的表示方法，后者采用质点运动学的表示方法。由于拉格朗日法与Euler法下的速度关系为：§2.1.2Euler法的加速度表达式

譬如像直圆管中的定常层流（如下图）那样一种实际流动，u=u（y）。当地加速度和迁移加速度都是零。

迁移加速度中的任何一项都是速度分量与同一方向的导数之乘积，或称沿速度方向的导数。因此只有上述两项都不为零才可能存在迁移加速度，因此也将称为对流导数。§2.1.2Euler法的加速度表达式根据上述分析可得出以下各图中Euler法的加速度表达式。§2.1.2Euler法的加速度表达式人们希望用一些曲线将流场上的流动情况表现出来。在某一瞬间看流场的话，从某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微小的距离到达邻点，再按邻点在同一瞬间的速度指向再画一个微小距离，一直画下去便得一条曲线。这条某瞬时的空间曲线，其切线都和该点的微团速度指向相一致。这样的空间曲线称为流线，这样的线可以画无数条。

§2.1.3流线、流管、流面与流量时间t固定或流线上的切线切线方向数与速度方向数对应成比例，表为微分的关系则有此式称为流线微分方程设流线上位移向量：又设速度向量：流线与速度方向相切即：§2.1.3流线、流管、流面与流量流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。同一时刻，由不同流体质点组成的。迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：(1)在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。

在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。(2)在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。(3)在同一时刻，一点处只能通过一条流线。(4)在奇点和零速度点例外§2.1.3流线、流管、流面与流量当给定速度场u,v,w时，迹线微分方程可写为：还可以写为：这与流线微分方程在形式上相同，但是二者有很大区别。在流线微分方程中

t是固定不变的参数，积分时t当常数看，而在迹线微分方程中t

是自变量，积分时

t为变量，仅在定常流情况下上述二微分方程的积分才相等，此时流线与迹线重合。§2.1.3流线、流管、流面与流量例.设有一个二维非定常流场其速度分布是：求t=0时过（1，1）的流线和迹线。问定常时结果如何？解：1.求流线，由流线方程（其中t固定当常数看）：积分得任一时刻t流线族为：t=0时刻流线族为：（这也是定常流流线族）§2.1.3流线、流管、流面与流量过（1，1）流线：2.求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：积分得迹线参数方程：由初始条件定得c1=c2=1,故所求的迹线参数方程为：§2.1.3流线、流管、流面与流量当流动为定常时再求迹线。由迹线方程：积分得：由初始条件定得c1=c2=1,故所求为：消去

t

得：可见定常时迹线与流线重合。§2.1.3流线、流管、流面与流量与流线密切相关的，还有流管和流面这样两个概念。流管是由一系列相邻的流线围成的。经过一条有流量穿过的封闭围线的所有流线，如图，经过围线ABCDA（非流线）的各条流线便围成一条流管。

图2-6流管（a）流线组成流管侧壁；（b）没有流量由流管侧壁流出由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。§2.1.3流线、流管、流面与流量流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面。流量是单位时间内穿过指定截面的流体量，例如穿过上述流管中任意截面S的体积流量Q、质量流量m,和重量流量G可分别表为:其中，是速度向量，是密度，是微面积法线向量§2.1.3流线、流管、流面与流量§2.2流体微团运动的分析§2.2.1流体微团的基本运动形式在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：质点（无体积大小的空间点）:只有平移运动（平动）；刚体（具有一定体积大小，但无变形）:除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）；在流体力学中，研究对象是流体质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动；（2）转动；（3）线变形运动；（4）角变形运动§2.2.1流体微团的基本运动形式平动转动（角平分线转动）线变形运动角变形运动（角平分线不动）§2.2.1流体微团的基本运动形式为便于分析，在流场中任取一平面微团ABCD分析。根据taylor展开，微分面四个顶点的速度可表示如下§2.2.1流体微团的基本运动形式（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度（u,v）。（2）线变形速率线变形运动是指微元体各边长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，在微分时段内边长的增加量为：由此得到x方向的线变形速率为：§2.2.1流体微团的基本运动形式同理，在y方向的线变形速率为：平面微团的面积变化率为：§2.2.1流体微团的基本运动形式（3）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）：AC边的偏转角度为（顺时针为负）：§2.2.1流体微团的基本运动形式解出可得：平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示：设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为α，边线的纯角变形量为β，则由几何关系可得：§2.2.1流体微团的基本运动形式定义平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为：定义平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为：上述定义实质是平面微团上两相互垂直线旋转角速度的平均值，即角平分线的旋转角速度。上述定义实质是平面微团上两相互垂直线相对于角平分线的转角速度。§2.2.1流体微团的基本运动形式

对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。微团平动速度：微团线变形速率：§2.2.1流体微团的基本运动形式微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团旋转角速度：§2.2.1流体微团的基本运动形式在点处，速度为：§2.2.2流体微团速度分解定理

德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，考虑相距微量的任意两点M0

和M1，在速度为：右侧可按变形率及角速度的形式改写为：将相邻点速度分量Taylor展开：§2.2.2流体微团速度分解定理同理：

各式第一项和M0点速度相同是微团的整体移动速度。第二项是线变形率，第三、四项是角变形率；第五、六项是角速度。说明，微团运动包含移动，转动和变形。§2.2.2流体微团速度分解定理§2.2.2流体微团速度分解定理

应该指出，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如：（1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。（2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。（3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平动和转动，但无变形运动。微团运动＝平动＋线变形（拉伸）＋角变形＋角速度（转动）刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别：整体性：刚体速度分解定理是对整个刚体都成立局部性：流体速度分解定理只对流体微团成立譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。§2.2.2流体微团速度分解定理§2.2.3散度及其意义

三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量

的散度，符号为，即

散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是Δx,Δy,Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt

时间后三个边长分别变为：则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为：§2.2.3散度及其意义设六面体的三边原长分别是Δx,Δy,Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt

时间后三个边长分别变为：任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。§2.2.3散度及其意义什么是旋度（curl,rotation）定义向量值函数为向量场V上的向量值函数称rotF为函数F在向量场V上的旋度（rotation）§2.2.4旋度和位函数微团的瞬时角速度是上述三个方向角速度分量之和，这个值在向量分析里记为，或一个流场，如果各处的基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各处的都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流。xyzωxωyωz在数学分析里，上式是式成为全微分的必要和充分条件这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个的条件。这个条件就是：§2.2.4旋度和位函数现在既是无旋流，我们可令代表这个全微分：φ(x,y,z)名为速度位或称位函数，为标量。；；这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如：u,v,w

与φ

的关系是：§2.2.4旋度和位函数SxyzuVvwvs一个无旋流场一旦知道了它的位函数φ(x,y,z)的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位φ，则沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分结果只与二端点的φ值之差有关而与积分路径无关：§2.2.4旋度和位函数例.设有一个二维流场其速度分布是,问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？微元如何变形？可见流动是无旋的，应该有速度位函数φ存在。

解:1.计算ωz：

§2.2.4旋度和位函数积分得：

（此处积分常数取为零）3.求流线：由流线方程2.求Φ：

§2.2.4旋度和位函数积分得常数C取一系列的值，得流线是一系列双曲线。

4.线变形率：由

及，得：

5.角变形率：

6.散度：

§2.2.4旋度和位函数A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy0考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；x方向线段有拉伸，y方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确定速度分布。§2.2.4旋度和位函数连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。§2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程xzyABCDA’B’C’D’以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。假设六面体:中心点坐标为：x，y，z中心点三个分速：u，v，w中心点密度：ρ(x,y,z,t)t瞬时通过垂直于x轴单位面积的流体流量为ρu,称密流;xzyABCDA’B’C’D’将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点Taylor级数展开表达。在dt时段内，从ABCD面进入的流体质量为§2.3.1连续方程在dt时段内，从A’B’C’D’面流出的流体质量为：§2.3.1连续方程在dt时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：同理可得，在dt时段内，由y,z方向净流入微分六面体的流体质量为：由此可得，在dt

时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为：§2.3.1连续方程根据质量守恒定律，在dt

时段内从侧面净流入微分六面体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量：§2.3.1连续方程由于ρ是空间位置和时间的函数，在dt

时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为：即：上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，即：§2.3.1连续方程

等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，因为有高斯公式：（显然当密度不变时，可将散度看成单位体积流出的体积流量）

连续方程的物理意义是：流体微元控制体密度的局部增长率与微元控制体单位体积流出的质量流量之和等于零。§2.3.1连续方程连续方程的物理意义是：流体微元的相对密度增加率与相对体积膨胀率之和为零。对于不可压缩流体，连续方程变为：不可压连续方程的物理意义是：不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。§2.3.1连续方程连续方程是流动首先应该满足的基本关系例如，速度场：满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。则不能够代表一个三维不可压缩流动。而速度场：此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出其他方向的速度分布。§2.3.1连续方程例：设不可压缩流体在xoy

平面内流动，速度沿x轴方向的分量u=Ax(A

为常数)，求速度在

y

轴方向的分量v。解：对于不可压缩流动，密度的随体导数由微分形式连续方程：§2.3.1连续方程§2.3.1连续方程如果流动非定常，上式中函数f(x)则应为f(x，t)。而函数f()的形式可任取。因此v

有无穷多个解。如果设v在x

轴上的分布为0即f(x)＝0，则：在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体来看，不计粘性力，表面力就没有切向力，仅只法向力（压力）一种，而彻体力是可以有的。xyz·Pdxdydz§2.3.2Euler运动微分方程组Euler运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。假设：六面体体积：dτ=dxdydz中心点坐标：x,y,z中心点速度：u,v,w中心点加速度：中心点压强：p中心点密度：ρ中心点处沿三个方向的单位质量彻体力：

fx,fy,fzxyz·Pdxdydz微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶Taylor展开表示,如图为x方向彻体力，其他方向同理可得。§2.3.2Euler运动微分方程组由于没有剪应力，并且其他面上的压力在x方向均无投影，从而x方向的表面力为：x方向的彻体力为：根据Newton定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得§2.3.2Euler运动微分方程组两边同除以微元体积dxdydz，令其趋于零，并代入加速度的表达，得同理可以写出y

和

z方向的表达：这就是笛卡尔坐标系下理想流体的Euler方程。§2.3.2Euler运动微分方程组Euler方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。压强变化的原因：速度的变化和彻体力的存在彼此独立分开计算对于如图的一维理想流动，利用Newton定律很容易证明Euler方程为：sVEuler方程的向量形式为：§2.3.2Euler运动微分方程组理想流Euler方程还可以有另一种表达形式。把加速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式：

式中V是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：§2.3.2Euler运动微分方程组得到如下形式的理想流Euler方程称为：“格罗米柯-兰姆方程”该方程的向量形式为，其中微团旋转角速度的2倍也称为涡量。这个方程本质上仍是理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。§2.3.2Euler运动微分方程组对于理想不可压流体，在质量力有势条件下，假设为定常流动，有：§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义这样格罗米柯方程变为：现在流场中，任取一条光滑曲线dS，并将上式投影到曲线上，有：如果上式右边项为零，有:这样在曲线上，下式成立:这就是Bernoulli积分（1738年），或Bernoulli方程。对于理想不可压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义Bernoulli积分成立的条件是:（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立（2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义（3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关，在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。

(a)静止流场:(b)无旋流场，有势流动:(c)流线与涡线重合，即Beltramiflow:可得：即括号中标量在全流场保持为常数。§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义在不计质量力情况下，Bernoulli积分变为:对于不可压缩流体:如果质量力只有重力:Bernoulli积分变为:§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义

事实上沿流线的Bernoulli方程也可由一维流Euler方程：在定常和重力场条件下（其中是g与s夹角的余弦），沿一维流线s方向积分得到。Bernoulli方程各项具有能量的量纲代表单位质量流体的动能，gy代表单位质量流体的势能，代表单位质量流体的压力势能或流动功。§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义如果将一维流的Bernoulli方程写成高度的量纲，并且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示一维流Bernoulli方程的几何意义：y：代表所论流体质点的高度称为高度水头p/γ:

代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上2项合称静力水头V2/2g:代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头H:代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一维流管的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线）从1→2有：§2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义例.求如图光滑容器中小孔的出流速度V，假设小孔中心距自由面深为h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。从而：（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值，其中cv叫做速度系数，实验表明cv＝0.97）沿小孔中心点处一根流线列Bernoulli方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。§2.3.4Bernoulli方程应用测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图：

总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0

，而静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0-p）就行了。速度V用Bernoulli方程计算：（在实际流动中由于有损失故左式还要乘上一个修正系数）风速管的结构氢气泡显示的来流在风速管头部滞止情况§2.3.4Bernoulli方程应用直匀流对机翼的绕流

例.在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假设流动无旋，求A、B、C三点的压强。解:流动是无旋的，Bernoulli常数全流场通用。根据远前方的条件得：§2.3.4Bernoulli方程应用这就是通用于全流场的常数。于是：§2.3.4Bernoulli方程应用例:

有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其Vθ正比于半径r，即Vθ=kr，如图。试证Bernoulli常数C是r的函数。证:先沿着流线写出Bernoulli方程

一种旋转流动

对半径取导数：§2.3.4Bernoulli方程应用由于法向压力差必须平衡微团的离心力，故有

左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在r向的投影。略去微量的高次项，得代入的式子，并将代入，得：一种旋转流动

§2.3.4Bernoulli方程应用Vθ=kr的速度分布就像刚体转动一样，可以证明这个流动是有旋流（ω=k），这个结果说明在有旋流场上，Bernoulli常数跨流线是要变的。§2.3.4Bernoulli方程应用§2.4流体运动的积分方程§2.4.1基本概念

流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题：（1）流体的运动学问题；（2）作用于流体上各种力的特征；（3）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、Newton第二定律（动量守恒）、动量矩守恒、能量守恒等）流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程。如果关系式是以微分形式给出称为微分方程（如前所述）。如果是以积分形式给出，称为流体动力学积分方程，在流体动力学积分方程中，具体包括：（1）质量方程（2）动量方程（3）动量矩方程------不讲（4）能量方程------不讲§2.4.1基本概念控制体（ControlVolume）：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体的形状可根据需要而定。§2.4.1基本概念xzyxyzs1s2n例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点，研究控制体内流体各物理量的关系。控制体的基本特点:（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的；（2）在控制面上可以发生质量交换，即流体可以流进、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力；（4）在控制面上存在能量的交换。§2.4.1基本概念下面我们考察如何将系统中的物理量N（可以是质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随时间的变化率，用关于控制体的描述方法表达出来。所谓控制体分析方法，就是要把上述适用于流体系统的各物理定律用关于控制体的描述方法表达出来，而连系着系统分析方法和控制体方法之间的桥梁就是Reynolds输运方程。§2.4.2Reynolds输运方程则系统τ中的物理量N可以用下述体积分（三重积分）表示，其中τ是系统占据的空间：显然，当=1

时，N=m

代表系统的质量；当时，代表系统的动量；§2.4.2Reynolds输运方程对于系统τ中的物理量N，假设每单位质量中含有物理量为σ：Reynolds输运方程:流体系统物理量N随时间的增加率，等于控制体τ

内的物理量随时间的变化率加上净流出控制面S

的物理量流量。§2.4.2Reynolds输运方程Reynolds输运方程将针对系统的表达转化为针对控制体的表达，这在研究流动问题时带来了极大方便。后者的表达往往容易写出，尤其是在定常情况下，只需写出流过控制面上的物理量流量：

当=1

时，代表质量流量；当时，代表动量流量；§2.4.2Reynolds输运方程由质量守恒：这就是积分形式的质量方程。其意义为：控制体中质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。xyztτs1s2nEuler型积分方程是对控制体建立的积分方程。利用Reynolds输运方程，可很容易获得。（1）质量方程由Reynolds输运方程，取σ＝1，有§2.4.3Euler型积分方程由Reynolds输运方程，取，有：（2）动量方程由动量守恒原理得：意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的增加率加上净流出控制面的动量流量。－积分形式动量方程§2.4.3Euler型积分方程积分形式质量方程的应用值得指出：质量方程描述流体的质量守恒条件，与流体是否受力无关，与流体属性是否有粘性也无关。积分形式质量方程不描述单独点的细节，它用在控制体上，甚至允许控制体包含流动不连续的地方，例如以后要介绍的激波等处。§2.4.4Euler型积分方程的应用例：一段输气管道直径150mm，在相距8m的两个截面上同时量取数据，流入、流出的重量流量分别为2N/s和1.8N/s，问这段管道内气体的平均密度随时间的变化率有多大？解：这是一个非定常问题，流入与流出流量不相等必然造成控制体内质量增加。取这段管道内空间为控制体，由积分形式质量方程：§2.4.4Euler型积分方程的应用例：一容积固定为τ

的容器装满盐水，初始时刻密度为ρi，纯水（设水密度为ρw

）流入容器并与其中盐水充分混合，设流动定常，容器内液位恒定，流入与流出的体积流量不变Q1＝Q2＝Q。求（1）容器内液体混合物的密度变化率；（2）密度变为ρ时（ρi>ρ>ρw）所需的时间。解（1）：划容器内部为控制区。由积分形式质量方程：τ=常数ρwρ§2.4.4Euler型积分方程的应用解（2）：由上式：§2.4.4Euler型积分方程的应用关于积分形式质量方程的进一步讨论：（1）当密度等于常数时，ρ＝c(必然为不可压)，由上式得：Q1S1S2Q2上述积分可用流入与流出的体积流量Q表为：或说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量与流出的体积流量相等§2.4.4Euler型积分方程的应用（2）当流动为定常可压时，有：设质量流量用表示，得到或说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流出的质量流量相等。注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。§2.4.4Euler型积分方程的应用说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将反映流速小大。（3）对于一维流动，控制体如图sV1V2ρ2ρ1A1A2

一维流动中，当密度等于常数时，流入的体积流量等于流出的体积流量，可表为§2.4.4Euler型积分方程的应用

一维流动中，当定常可压时，流入的质量流量等于流出的质量流量，可表为：说明：在定常一维可压流动中，密度ρ、速度V与截面积A的乘积为常数。

对式取微分，可以得到定常一维流动质量方程的微分形式：§2.4.4Euler型积分方程的应用积分形式动量方程的应用

积分形式动量方程中的合外力指流体受到的所有形式的外力之和，可以包含彻体力、法向表面力和切向表面力，控制体中的物体对于流体的作用力也可以单独考虑。一般来说有两类控制体可供选择：控制体将流过的物体也包括在内，例如绕机翼的流动。物体不包括在所取控制体之内，而物体的部分壁面构成控制面的一部分，例如管道中的流动；§2.4.4Euler型积分方程的应用积分形式的动量方程用于定常、一维管流控制体时（如图），可得：p1、ρ1、V1A1A2xyθ1θ2p2、ρ2、V2对于物体不包括在所取控制体之内的情况，例如管道，应用积分形式动量方程的目的主要是通过求流体受力来确定管道受到流体的反作用力。RxRy方程左端是控制体内流体所受合力在相应坐标系的投影。§2.4.4Euler型积分方程的应用设两端的压强分别为p1、p2，管壁对流体的作用力为投影分别为Rx、Ry

，不计彻体力，从而动量方程可写为（x方向）：即：管壁受力大小相等方向相反。当求管壁所受纯由流动引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力时，由于大气压无合力可不考虑，上式中压强用表压。y方向同理得：§2.4.4Euler型积分方程的应用

将控制体外部取得离机翼足够远，这样即使翼面附近有粘性力，到了S面上也没有粘性力了，只有压力的作用，从而x方向表面力为：

对于如图的控制体（机翼被包含在控制体之内），主要目的是求物体（机翼）受力。我们将动量方程作些变换和说明，得到更常用的形式。设机翼受力在三个方向的分量为Fx、Fy和Fz。则控制体受力的三个分量为－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np§2.4.4Euler型积分方程的应用控制体内的x方向彻体力为：从而控制体内x方向所受的合外力为：控制体内x方向的动量随时间变化率及净流出控制面的动量流量为：注：连接S和S1双层面上的面积分为0。§2.4.4Euler型积分方程的应用由动量守恒，得：同理：上述方程常常用于定常流动的气体，此时式中的当地变化率一项等于零，且彻体力可以忽略。§2.4.4Euler型积分方程的应用例．有一种尾迹详测法可以用来测量一个二维物体的型阻（型阻是由粘性直接和间接造成的物体动量法测型阻

p1、u1p2、u2解：取控制面S

如图。在上游足够远处气体流基本上还没有受到物体的影响还是直匀流。在下游一定距离处气流的静压已经和来流的静压没有什么区别了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。阻力，例如摩擦阻力和压差阻力）。我们来看一看要测哪些量，并怎样使用积分形式的动量方程。§2.4.4Euler型积分方程的应用

上下两根流线取在远离物体的地方，那里流速和静压都和原来的来流值一样。在这个S面上作用的静压既然都是同一个值，那末压力做面积分的结果必是零。上下两根流线处没有摩擦力。

设定常，不计彻体力，则计算翼型受到的阻力Fx只需计算越过控制面的动量流量：测出尾迹区σ中速度分布即可求出阻力。§2.4.4Euler型积分方程的应用§2.4环量与涡

§2.4.1环量与涡的概念研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。速度环量：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量u,v,w,把线段ds也分解成dx,dy,dz三个方向的三个线段，有：沿曲线AB作速度的线积分沿闭曲线速度的线积分

于是环量表达式为：§2.4.1环量与涡的概念如果流动是无旋的，存在位函数Φ，那末上式中的u,v,w

都可以用Φ

的偏导数表达：

说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。§2.4.1环量与涡的概念在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合为一个合角速度是：旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量，它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

涡量概念是指流场中任何一点微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz

，称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。§2.4.1环量与涡的概念像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：涡线给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。涡面涡管§2.4.1环量与涡的概念涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中，涡通量就是：在三维空间问题中，涡通量就是：式中的S

是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积dS的法线和ω的轴线之间的夹角。nγ空间问题的涡通量平面问题的涡通量涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。§2.4.1环量与涡的概念在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。为说明这个联系，首先考察二维流场。§2.5.2环量与涡量的关系在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元ABCD，速度环量为§2.5.2环量与涡量的关系绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消）上式即为二维问题中的格林公式。表明：沿平面上一封闭围线l做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。§2.5.2环量与涡量的关系如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零，就说明围线内无涡通量。推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面S的围线L的环量仍等于S面上各点的二倍角速度与面积点积：§2.5.2环量与涡量的关系展开即：§2.5.2环量与涡量的关系其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间的关系。三维流中环量与涡的关系

nγ表明：沿空间封闭曲线L

的环量，等于穿过张在L上任意曲面S上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封闭曲线的速度环量也为零。对于无旋流动还有：说明位函数差的意义是沿线段的速度线积分。§2.5.2环量与涡量的关系一条强度为Γ的涡线的一段dS对线外的一点P会产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡段所产生的诱导速度的公式是：

涡与诱导速度§2.5.2环量与涡量的关系这个dV是一个垂直于线段dS与受扰点P所组成的平面的速度（如图），其值正比于涡强Γ和涡段长度dS，但反比于距离r的平方，另外还要乘上r与ds的夹角的θ的正弦。这个公式在形式上和电磁学的电磁感应的比奥—萨瓦公式一样，仍叫比奥—萨瓦公式。或：§2.5.2环量与涡量的关系现在把一条强度为Γ的直涡线对线外一点所产生的诱导速度写一下。参看下图。AB是涡线，P为线外一点，P到AB的距离是h。令任意微段ds与P的连线和AB垂线PN之间夹角为γ，则直线涡的诱导速度ds§2.5.2环量与涡量的关系ds再令PA与AB的