《相似三角形的判定》教案 (省一等奖) 2

相似角的定二—用边夹教目：1、过实践和探索，得出两个角形具备有两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断这两个三角形相似的方法。2、会选择适当的条件判断两个角形相似。3、经历“猜测—验证—推广—理—应用〞的数学活动过程，开展合情推理和有条理的表达能力。教重：经历探索三角形相似的条件的过程及其应用。教难：三角形相似条件的说理〔证明〕和应用。设理：任何数学知识的发现都会经历—验证—推广—说理〔证明〕—应用〞这一过程，它是研究学的根本思路。本节课先通过对特殊的相似三角形〔相似比为1的角形，即全等三角形〕的边角边判定条件的究，从而科学、大胆地提出猜测，接着用测量的方法来验证猜测，然后对我们的猜测做进一步推广，为了确保猜测的正确性，再运用已有的知识加以论证、说明，最后对探索到的数学知识又加以应。充分地表达了课标的过程教学，也美地展示了数学研究的根本思路。教实：、情境设提猜开语同学们，在上一节课的探索中，我们知道：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。那么三角形的相似还有没有其它条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途。出课：相似角的定二[书师：常言道“温故而知新〞，下面邀请一位同学回忆一下三角形全等条件—边角边SAS〕的内？生果个三角形的两边与另个三角形的两边对应相等且角相等么两个三角形全等。教板：①边应等②角等师

和

中，

A

.根据边角定条件来判

和全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条件

A

，

A

教板〔板在面教过中要变

在和A因

B

中

B

，

ACA

所

≌

B师：如果把条件：

A

，

ACA

改写成：

。那么和

B

是否还全等？〔在刚刚的板书中改写〕生：是的，因为条件

A

，

AC

和条件

是等价的，所以两个三角形仍然是全等的。师：答复的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？〔学生思考〕……生：相似吧，因为全等三角形是相似比为1的特的相似三角形。〔教师把刚刚板书中的≌改后板：

B

中的“≌〞改成“∽〕在和A因

B

中所

ABC∽师：确实如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例〔比值为1且角那么这两个三角形相.师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜测，就没有伟大的发现和创.那么对于三角形相似的条件，你们有什么大胆的猜测呢？〔学生想说，但又不敢说。但在教师的鼓励下，有同学鼓起了勇.〕生：我的猜测是：如果把比值改成，两个三角形可能也是相似的.教在件出猜：在ABC和

B

中如

AC，AC

，么ABC和

B相吗、探索动揭新活一操、察〔证测师：在古希腊，人们经常用测量的方法来研究图形今天，我们不防也用测一测、量一量的方法来验证我们的猜.师：下面就让我们用自己的双手共同验证我们的猜测吧！如图，在∠和

B

中，

A师生共同操作：以∠A为内，eq\o\ac(△,画)，得

A

师：同学们用量角器量一量和什么发现吗生：B和师：其他同学是否也有这样的发现？众生：是的！师：你能判断

和

B

相似吗？众生：能师：谁能说说你的判断理由？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似师：通过验证，当比值为2的时候，两个三角形仍然相.活二进步测推k值师：如果设比值为k.通过刚刚研究：当k=1时两三角形……生：相似师：当k=2时，两三角形……生：相似师：此时，你还有什么更大胆的猜测？〔学生很积极〕生：k可以一切实数.生：不对，可取大于0的切自然.生：k可以大于0的一实.生：和k无，只要两边对应成比.师：同学们的猜测都很大胆，都具牛顿的品质，但对吗？生：我们可以用测量的方法加以验证啊？师：对！下面就请同学们分别验证k=2.5、3.5的时候是否还相.〔学生通过测量的方法分别验证着自己的猜测〕师：你们有什么发现吗？众生：仍然相似.活二说师：同学们刚刚认真的操作、仔细的观察加深了我们猜测的可信度。但举例有限，而k的取值却无限，那么我们能运用已有的知识加以说明呢？教师在投影片上出示：如图，在ABC

B

中，如果∠A=∠A′

A

，试说明：∽

B师：下面就让我们沿着问题的路标，向成功迈进吧！

教师出示问题1：问题1：如何在△ABC中构造出个相似的三角形？〔学生思考〕生：作BC边的平行线.〔学生根上一节的内容很容易想到〕师：非常棒！在AB边上任找一

B点根据上节课的知识，我们可以知道师：像这样的三角形有多少个？生：无数个教师出示问题2：

与△相似.问题2：点

B

在什么位置时，所构造的

可能与

全等？〔学生思考〕生：

AB

B

时教师出示以下列图：师：假设

和

B

全等，而

又和

ABCABC就

B相似.师：

和

B

全等已经有什么条件了？生：

B

，

A

.师：还需要什么条件？生：

AC

C

或

B

或

师：我们不妨从边入.教师出示问题3：问题3：如何说明

〔学生思考、讨论〕生：

因为

∽

所以

ABAC又因为

A

，

AB

B所

C

．．师：刚刚严谨的推理，再次说明了猜测的正确.师：请同学们用自己的语言总结出我们今天的发.〔学生积极发言，通过前面的研究，根本都可以能说对〕教师总结：如一三形两与一三形两对成例并夹角等那这个角相。教板：、应用论加理师：通过前面的探索，我们又发现了一种判定两三角形相似的方法，下面我们就应用今日所学去解决更多的数学问.〔1〕师示考思：如图，在△ABC和eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,′)要加什么条件？生：生：生：

BA师：要说明两个三角形相似，假设一对等角，那可找另一对等角，或找夹等角的两边对应成比例。〔2〕师示论讨1在△ABC中㎝，AC=6㎝在AB边上有一定点D，AD=4，在AC边有一动点E.试问：当AE=㎝，△ABC和相似

〔学生充分讨论后，让学生在课件中找出两个三角形可能相似时点的概位置，如上图两点

1

、

2

〕第一种情况：当动点E在E处时：1∽ABC需要条件

AEAB第一种情况：当动点E在

2

处时：

∽

ABC

需要件

AEAC讨2如图，在△ABC中，㎝AC=2㎝问题1：在AB上取点D，当AD=㎝时∽eq\o\ac(△,；)ABC问题2：在AC的延线上取一点，当CE=㎝，AEB△ABC.问题3：此时，BE与DC有样位置关系？为什么？〔3〕师示察观：②③④⑥5个角形中三角形①相似的三角形有哪些？为什么？、小结思（1）学生总结：通过本节课的学习，你有什么收获？〔2〕教总结：在今天的这节课中，我们通过“猜测—验证—推广—说理—应用〞的过程，探索出三角形相似的条件。在这过程中，我们发扬着“敢想、敢做；务实、严谨〞的数学精神。在这过程中，我们感受着数学从到未知的魅力同学们在今后的学习中，继续“探索数学世界、秉承数学精神、感受数学魅力〞。、布置业用今天所学的探索方法去探索三角形相似的其它条件。

本时教反有人说学课堂就是传授数学知识〞，其实这种想法是很片面的。数学教学的目的不单单是传授枯燥的数学知识重要的是通过数学知识这一载体养生的数学思维能力和渗透数学研究方法数思能力和数学研究方法的形成不能依靠教师告诉学生它是潜移默化的它能够让学生一次又一次的数学活动中感受它用这有价值的数学活动越多学生对它的理解越深刻就需要教师能够提供应学生更多的数学活动时机探数学知识的发生过程就是一个很好的时机此经数学知识的形成过程在这次课程改革中被提到一个尤为重要的地位这程中能培养学生的数学思维能力和数学研究方法的渗透。下面，就结合我在我校对外公开中探索三角形相似的条件2一，谈谈过程教学的得与。本节课的主要内容“如果一个角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这样的两个三角形相似。〞应该说学生对该知识是能够比拟容易掌握的但为了能更好的培养学生的思维能力成良好的研究习惯在本节课的教学中我数学研究的一般思路“猜测—验证—推广—说理〔证明〕—应用〞进行了知识形成过程的教学，充分的展示出该知识的形成过程。下面就从数学研究的一般思路一一说起。一提猜在图的全等这章的学习中们知道根据全等三角形边角边判定条件判定两个三角形全等，只需知道两边对应相等，并且夹角相等。综合这判定条件和相似三角形，可以从以下三个层次做进一步的思考第一个层次：两边对应相等可以做一个等价的改两边对应成比例，且比值为。第二个层次：全等三角是相似为的特殊的相似三角形，因此这两个三角形除了是全等关系，还是相似关系。第三个层次似角形对边的求比全等三角形对边的要求要宽松对的要求是同等的。在以上三个层次的研究根底上出科学大胆的猜测一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例并夹相等如果把比值条件放宽比方把比值由1改2的候，那么两个三角形是否还相似呢？猜测并不是胡想乱想，它的提出需要学生对已有的知识和需探究的知识有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知识是远远达不到要求的。上面猜测的提出就是一个很好的例子，如果不能理解出上面的三层含，就不会有这样科学、合理的猜测。在这猜测提出的过程中，学生会更清楚全等和相似两者之间的关系〔特殊与一般的关系在无意间感受、运用着类比和从特殊到一般的数学研究方法。

实际教学中，没有同学敢提出自己的猜测，但他们的眼神告诉我，他们有猜测，但就不敢说。在我的鼓励之下，最终有同学说出了自己的猜测，并且就是我所希望的猜测。造成这样的原因可能是很平时的教学过于严肃以及后面有听课教师有关。二测验猜测对吗？我们需要对它做出一个判断。测量法、特殊值法…都是很好的验证方法。对于代数中的字母问题、公等特殊值法就以的发挥它的作用。比方：()

2

2

2

对吗？我们只需要找几个数字代入就可以知道它的正确性。很明显当a=1,b=-1时，式不成立。图形问题那么是测量法的舞台，在本节课的实际教学就是采用测量法来加以验证的。如图：在∠和

B

中，

A师生共同操作：①以∠为角，eq\o\ac(△,画)ABC，使②用量角器量出B和

A学生通过自己的测量深信不已把脑中的问好拉成了感慨号到此学已经成功的迈出了探索的第一步，也是意义最重大的一步。在教学中发学生画图的速度慢至有的同学量出的角是不相等的这就需要在平时加强对学生动手能力的培养。三合推在数学知识不断的增长中，推广是一种很重要的数学研究方法。比值从1到2这一步的成功方面使学生加强了成功带来的自信一面更可以翻开学生的思维空间值k能不是其它的数值呢？或许与k的取值无关？他们在无意间比照值K做推广这样的想法可谓是出色的们已经能够运用数学研究中的一种重要的研究方法——推广在数学知识的展中对学知识的每一次推广都具有划时代的作用方：数域的推广：自然数正有数实复数坐标系的推广：数轴平坐系空间坐标系或许对K值推广没有上面两个例子那样复杂而又有意义本质上确实一样的是对已有知识的更深层次的思考和推广。在前面已有的经验根底上学生以自行验证自己的猜测课堂中一又一次的发出感慨，感受着数学的微妙！甚至，有同学说相似和比值有关系的更大胆的想法。四严说和比值k无这经过大量实后的一个很大胆的想法举例毕竟有限但k的值却是无限的，这就需要运用已有的、确信无疑的知识来说明想法的正确性。在教学中，这是一个难点一面在这里要运用构造法一方面要运用到用比例线段证明线段相等为了突破这两个难点，在这里精心设置了三个问题：

问题1：如何在△中造出一个相似的三角形？问题2：点所造

可能与

B

全等？问题3：如何说明

C问题1和题2的置是为了突构造法两问题的设置有一定的台阶性想法构造相似三角形，在此根底上，再找出可能全等的三角形。在台阶的引导下，学生根本能够构造出想要的三角形题3的置是为了解决用比例线段证明线段相等个题设置的有探究的价值，同时也存在一定的难度，学生很少有人能够想出方法。在教学中，该问题可以设置两问，如下：问题a：从

∽，你能得到什么比例式？〔结论师板书，便于学生思考〕问题b：

AC

和

A

有什么关系？为什么？这样做既降低了难度有定思维空间于学生掌握运用比例线段说明线段相等的方法。五正应学习数学的最终目的是应用应可以分两种一是解决数学内部的问题另一种是解决生活实际问题对本节课数学内部的应用传统教学对于解题能力的培养很有好处在此我也吸收了一些很好的经验时对节课例题的选择又有很强的灵活性和时代性。比方动点在何处时三角形相似，再比方最后的“观察〞中找相似三角形。学生在这里根本都能理解解题的方法通过个别同学的板书以现学生解题的标准性太差。这需要在今后的教学中吸取传统教学的优势，加强解题标准性的训练。通过以上5个步学生对经历如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这样的两个三角形似〞这一知识的形成过程，从而对该知识有了更为立体的认识。在这过程中，学生感受到了数学研究的一般方法。[教学反思

学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原那么；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基此题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都得了成功的体验，建自信心。接着，我利用可操作材料，体会展开图与长方体、正方体的联系；通过立体与平面的有机结合，开展学生的空间观念。这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达教学目标的要求：闭上眼睛想象展开或折叠的过程，促进学生建立表象，帮助学生理解概念，开展空间观念。24.1圆(第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角相等于条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半〔或直径〕所对的圆周角是直角的周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其理的灵活运用．设置情景给圆周角概念探究这些圆周角与圆心角的关系用数学分类思想给予逻辑证明定理得推导让生活动证明定理推论的正确性后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证圆周角的定理．

3．关键：探究圆周角的定理的在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么在联系呢？老师点评〕们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的O，我们在射游戏中，设E、F球门，设球员们只能在所的⊙其它置射门，如下图的A、B点通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这的角，它们的顶点在圆上•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是发生变化？

A

C3．同弧上的圆周角与圆心角有么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言．

O老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个有无数多个．

B2．通过度量，我们可以发现，弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且

它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞〔1〕设圆周角∠ABC的边BC是O直径，如下图∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∴∠AOC=∴

12

∠AOC〔2角∠的边AB一条直径OD的两侧∠ABC=∠AOC吗请同学们独立完成这题的说明过程．

12老师点评：连结BO交⊙于D理∠AOD是ABO的外角，∠COD是BOC的外角，那么就有∠AOD=2，∠DOC=2∠CBO因此AOC=2∠ABC．〔3角∠的边AB一条直径OD的同侧∠ABC=∠AOC吗请同学们独立完成证．

12老师点评连结OA连结BO并长交O那么AOD=2∠ABD∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

111∠AOD-∠COD=∠AOC222现在，我如果在画一个任意的圆周角AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的．从〔1总归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角90°圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图AB是O的直BD是⊙的，延长BD到，使AC=AB与的大有什么关系？为什么？分析BD=CD因为所以这个是等腰要证明DBC的点，•只要连结AD证明AD是高是的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图