《等腰三角形》教案 (公开课)2022年

腰角〔〕一、学知识状况分在八年级上册第七章平行线的证?学生已经感受了证明的必要性并通过平行线有关命题的证明过程习得了一些根本的证明方法和根本标准积累了一定的证明经验在七年级下学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。二、教任务分析本节将进一步回忆和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知根底，为此，本节可以让学生在回忆的根底上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目：理解作为证明根底的几条公理的内容用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中进一步感受证明过程掌握推理证明的根本要求明确条件和结论够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的根本步骤和书写格式。2．能力目：经历－发现－猜想－证明〞的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要开展，开展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3．情感与值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．教学重难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的根本要求和

方法；难点：明确推理证明的根本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。三、教过程分析学生课前准备：一张等腰三角形纸片〔供上课折叠实验用教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：忆旧知

导出公；第二环节折纸活探索新知第三环节明晰结论和明过程；第四环：随堂练固新知第五环节：堂小结第六环节：置作业

稳第一环：回忆旧知

导出公活动内：请学生回忆并整理已经学过的8根本领实中的5条：1.两直线被第三条直线所截如果同位角相等那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等〔4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等〔5.三边对应相等的两个三角形全等〔SSS在此根底上回忆全等三角形的另一判别条件：1.〔推论〕两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔AAS要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。活动目：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此在第一课时，回忆有关内容是对前面学习内容一个简单梳理为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论可以让学生熟悉证明的根本要求和步骤为后面的其他证明做好准备。活动效与本卷须知由于有了前面的铺垫学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能局部学生的表述未必严谨、标准，教学中注意提请学生分析条件和结论画出简图写出和求证并标准地写出证明

过程。具体证明如下：：如图，∠∠D,∠B=∠求证：△ABC△证明：∵∠∠D,∠B=∠〔

DF又∠A+∠B+∠C=180°，∠∠∠〔三角形内角和等于∴∠C=180°-(∠A+，∠F=180°-(∠∠E)，∴∠∠F〔等量代换又BC=EF〔∴△ABC≌△DEF〔ASA第二环：折纸活动索新知活动内：在提问“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？〞的根底上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先单独折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补缺乏。A

→

→B

C

D活动目通过折纸活动过程获得有关命题的证明思路并通过进一步的整理次感受证明是探索的自然延伸和开展悉证明的根本步骤和书写格式。活动效与本卷须知由于有了教师引导下学生的活动以及具体的折纸操作学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理当然可能局部学生得到的定理并不全面在学生小组的交流中通过同伴的互相补充一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一〞。

第三环：明晰结论证明过活动内：在学生小组合作的根底上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合活动目和学生一起完成性质定理的证明可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的标准，起到一种引领作用；活动2，那么是面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的稳固练习。第四环：随堂练习

稳固新活动内：生自主完成P4第2题：如图〔图略〕,在△ABD中是BD上的一点，且AC⊥，AC=BC=CD，〔1〕求证：△ABD是等腰三角形；〔2〕求∠BAD的度数。活动目稳固全等三角形判定公理的应用习等腰三角形等角〞的用法。第五环：课堂小结活动内：学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目：成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效与本卷须知教师注意对学生的感想进行适当的引导并在学生交流的根底上，明晰局部收获供学生共享，如：1、具体有性质定理；2、通过折活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．3、体会了明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．

第六环：布置作业P4题1,2.四、教反思本节关注学生已有活动经验的回忆过程，关注了－发现－猜想－证明〞的活动过程关注了学生自主探究过程学生学习的主体性发挥较好应该说取得了较好的教学效果当然在具体活动中如何在学生活动与标准表达之间形成一个恰当的平衡体各局部时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。1.8完平公()●学目标一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力●学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释2.完全平方公式的应用●学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.●学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释数运算角度的推

理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用●具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(A)第二张：想一想，记作(§1.8.1第三张：例题，记作(§1.8.1C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1●学过程Ⅰ.设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一“技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a的正方形农田改成试验田上了优质的杂交水稻一年来收益很大今年，又一次技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径［生］我能帮这位爷爷［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.图－所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)［生可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面

积，边长为b的正方形的面和两块长和宽分别为和的面积的和所以试验田的总面积也可表示为a+2ab+b2［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生可以发现它们虽形式不同但都表示同一块试验田的面积因此它们应该相等.(a+b)22+2ab+b［师］我们这节课就来研究上面这个公式—完全平方公式.Ⅱ.授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公(a+b)

2

2

.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？－

2

等于什么？你是怎样想的.(学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a+b)

22

+ab+ab+b2所以(=a22

(1)［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释2

=a

2

,到了条件限制:且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式

［师］同学们分析得很有道理接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么，那么ba+b2－.

(a2=(ab)=a2ab－［生我是这样想的因(

=a

2

2

中的可以是任意数或单项式、多项.我们“〞代替公式中的b利用上面的公式就可以得到－2［a+(b)］.

［师］这位同学的想法很.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下［师生共析］(ab)

=a+(－］2

=a

2

+2·a·(－b)+(－b)↓↓↓↓↓↓

=a

2

·b+b

22

－

.于是，我们得到又一个公式：(ab)－2ab+b2

(2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式计算：－3);(2)(4x+5y)2;(3)(mna).分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化.解：方法一：

［例2］利用完全平方公式计算－

－－

;－z)

2

;(4)(x+y)2

－(x－y)2

;－2(2x+3y).分析：此题需灵活运用完全平方公式，题可转化为(－x)或(x－,再运用平方差公式(2)题需转化x+y)

,利和的完全平方公式(3)题利用加法结合律变形为［－］2

(［x+(y－z)］

(x－］2

用完全平方公式计算；(4)题利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：方法一：(－x+2y)=(2yx)=4y2

－4xy+x

2

；方法二：－x+2y)

=－］2

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2［－(x+y)2=(x+y)=x+2xy+y.－z)=［(x+y)－2=(x+y)22(x+y)·z+z2=x

2

+z

2

+2xy－2zx－方法一：

－(xy)=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(x－y)

1111x)=(2xy)x+(x)yxy+1111x)=(2xy)x+(x)yxy+=(x+y)+(x－y)－y)］－2(2x+3y)=(2x］2=4x

2

－2

］2

4

－2

y2

4

.Ⅲ.堂练习课本1.计算：

12

x－2y)

;(2)(2xy+

x)

;(3)(n+1)2

－n

2

.解：x－2=(x)－2·x·2y+(2y)=x2－2xy+4y22(2)(2xy+

12415525

x

2方法一：(n+1)

2

－n

2

=n2

+2n+1n

2

=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n(n+1)－n］Ⅳ.后作业1.课本习题1.13的第、、题2.阅读〞，并答复文章中提出的问题.Ⅴ.动与探究甲、乙两人合养了头牛，而每头牛的卖价恰为n元.部卖完后两人分钱方法如下先由甲拿元再乙拿10如此流拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n头，每头卖n，故共卖得

2

元.令a表示n的十位以前的数字，b表示的个位数于是n2+.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以

2

中含有奇数个元，以及最后剩下缺乏元但10×2a(5a+b)中含有偶数个元此2中必含有奇数个元b<10，所以只可能是、4、9、16、、、、、，而这九个数中，只有16

和36含有奇数个10，因此

2

只可能是16或，但这两个数的个位数都是，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏元)［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙元●书设计1.8.完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①

②(a+b)比照得：(a+b)

=a

2

2二、代数推导(a+b)

2

(ab)

=a+(－］22三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：－3)(3)(mna)四、随堂练习(略)●课资料一、杨辉杨辉中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家在世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

a=(11a=(11他著名的数学书共五种二十一卷著有详解九章算法十二卷(年)、日用算法二卷(1262年除通变本末?三卷1274)亩比类乘除算法?二卷(1275)、续古摘奇算法?卷(1275年)杨辉的数学研究与教育工作的重点是在