等差数列前n项和优质课(正式)

课题:等差数列前n项和

复习回顾等差数列性质：等差数列通项公式:等差数列的定义：创设情景问题1：若把问题变成求：1+2+3+4+‥

‥+99=？可以用哪些方法求出来呢？

问题2:求和:1+2+3+4+…+n=?记:Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nSn=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1问题3：现在把问题推广到更一般的情形：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

两式左右分别相加，得倒序相加Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：

a1dnan

sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，知三求二。

应用公式时，要根据题目的具体条件，灵活选取这两个公式。例1:解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，记为｛an｝，答：V型架上共放着7260支铅笔。如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支.这个V形架上共放了多少支铅笔？举例应用例2：等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和多少？解：设题中的等差数列为{an}则a1=－10，能用公式（1）计算吗？d=4,n=9变式：等差数列－10，－6，－2，2，·······前多少项和是54？

解:设题中的等差数列为{an},得n2-6n-27=0

故n1=9,n2=-3(舍去）。d=-4设Sn=54,则a1=-10,因此，等差数列－10，－6，－2，2·······前9项和是54。1、姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：600，第二天：650，第三天：700，第四天：750，第五天：800，第六天：850，第七天：900.所以姚明一周训练罚球的总个数为5250个巩固练习2.求正整数列中前n个偶数的和.3.等差数列5,4,3,2,···前多少项和是–30？解：记等差数列为{an}

a1=5,d=-1,Sn=-30课堂小结等差数列前n项和公式在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(运用了

方程思想）公式的推证用的是倒序相加法作业布置再见

南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题。例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”

再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”

原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”

例1：等差数列－10，－6，2，·······前多少项和是54？得n2-6n-27=0

得n1=9,n2=-3(舍去）。

(五)数学运用例题解析例2：等差数列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解：由an=a1+(n-1)d得：18=a1+(n-1)4解得：n=4或n=6a1=6或a1=-2例3.解：例4.

做一个梯子，最高一级宽为a,最低一级宽为b，中间还有10级，若各级的宽成等差数列。问做中间各级，要准备多长材料？在a，b之间插入10个数,使它们同这两数成等差数列,求这10个数的和.等差数列{an}中，已知a1=a，a12=b，求a2+a3

+a4+…+a11.

课堂小练1.根据下列条件，求相应的等差数列的练习1.

课堂小练2.(1)求正整数列中前n个数的和.

(2)求正整数列中前n个偶数的和.3.等差数列5,4,3,2,···前多少项和是30?练习2.

想一想

在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?问题1:问题2:

已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?

有最大值(至于是否在顶点处取得,要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得,一般情况下或一,或两个最值),如右图所示:2.当公差d>0即a>0时,

3.当公差d=0即a=0时,