第1章 随机事件与概率

概率论与数理统计ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

主讲人：刘丹丹Tel率论的诞生及应用(Naissanceandapplicationofprobabilitytheory)概率论的诞生

起源——博弈

概率论产生于十七世纪，但数学家们思考概率论问题的源泉，却来自于赌博。传说早在1654年，有一个赌徒向当时的数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢3局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了

2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因，赌博终止了。

这位数学家是当时著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思索了三年。三年后，荷兰著名的数学家企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。

19世纪(1866),Chebyshev(切比雪夫，俄)—中心极限理论，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的产生和应用奠定了基础。20世纪(1933)，Kolmogorov(柯尔莫哥洛夫,俄)—概率公理化定义得到了数学家们的普遍承认。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切的联系。2.概率论的应用

概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.一方面，它有自己独特的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分.

概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;工农业生产和国民经济的各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.?概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学

第一章概率论的基本概念主要内容§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其性质§1.3古典概型与几何概型§1.4条件概率§1.5独立性第一章：总结在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象太阳不会从西边升起同性电荷必然互斥水从高处流向低处自然界所能观察到的现象:确定性现象随机现象⑴随机现象

确定性现象的基本特征是条件完全决定结果

1.1.1

随机事件的概念

……在一定条件下不能预知是否出现的现象称为随机现象掷一枚均匀的硬币出现正反两面的情况一门大炮射向同一目标的多发炮弹的弹落点抛掷一枚骰子出现的点数任意抽取一个产品抽出正品或次品的情况

过马路交叉口时可能遇上的交通信号灯的颜色

随机现象的基本特征是条件不能完全决定结果

……随机现象是通过随机试验来研究的如何来研究随机现象?问题重复性

试验可以在相同的条件下重复地进行.明确性事先明确的知道试验所有可能结果；偶然性试验的可能结果不止一个,每次试验之前在概率论中称有如下三个特征的试验为随机试验：⑵随机试验不能确定哪一个结果会出现；随机试验简称为试验.通常用E

来表示.试验是一个广泛的术语科学实验调查观察测量试验

E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间.⑶样本空间(Samplespace)样本空间通常用字母Ω

表记.一个具体试验结果，即

Ω

的元素称为

E的样本点.例1抛掷一枚骰子,观察出现的点数.样本空间样本点例2

记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.例3

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.其中

t为灯泡的寿命.样本空间有限样本空间（例1）可列样本空间（例2）连续样本空间（例3）离散样本空间试验的操作相同但关注不同，则样本空间也不同.例4

试验的操作为：“将一枚硬币抛掷三次”.

关注1观察正面

H和反面

T出现的情况.

样本空间为关注2观察出现正面的次数.

样本空间为称之为一个随机事件，简称为事件.出现1点，出现6点，点数不大于4，点数为偶数例5

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.⑷随机事件随机试验中，有可能发生也可能不发生的结果，我们试验中,骰子等都为随机事件.由一个样本点构成的事件称为基本事件.随机事件

A是样本空间

Ω

的一个子集合在随机事件的讨论中通常借用集合论的语言.随机事件常以大写英文字母

A,B,C,

…

表记.两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，常用Φ表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.

1.1.2

随机事件间的关系及运算事件相等A＝BAB且BA.⑴事件的包含与相等若事件A出现必然导致B出现，则称事件B包含事件A，也称事件A包含于事件B，记为(2)事件的和（并）若事件

A与事件

B至少有一个发生，则称事件

A与事件

B的和事件发生，和事件记为

A∪B.—有限事件和—可列事件和n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，(3)事件的积（交）若事件

A与事件

B同时发生，则称事件

A与事件

B的积事件发生，积事件记为

A∩B或

AB.—有限事件积—可列事件积n个事件A1,A2,…,An同时发生(4)事件的差若事件

A发生但事件

B不发生，则称事件

A与事件B

的差事件发生，差事件记为

A-B.(5)互不相容事件如果事件A与事件B不能同时发生，AB＝，则称A与事件B互不相容，或称事件A与事件B互斥。进而有(6)对立事件若事件

A与事件

B必有一个发生，但

A

发生则

B

不发生，反之

B发生则

A不发生，则称事件

A与事件B互为逆事件或对立事件，记为

B=A

或

A

=B

.

两事件A、B互斥：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.除要求A、B互斥()外，还要求

A∪B=Ω(7)完备事件组如果n个事件A1,A2,…,An互不相容，并且它们的和为必然事件(或样本空间),则称n个事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组.即如果事件A1,A2,…,An为完备事件组，则必须满足如下两个条件：

A1∪A2∪…∪An=Ω

AiAj=,

i≠j,i,j=1,2,…,n

事件的运算性质⑴吸收律⑵交换律⑶结合律⑷分配律⑸对偶律例6

设

A,B,C

表示三个随机事件,试将下列事件

A出现,

B,C不出现

三个事件都不出现A,B都出现,

C不出现三个事件都出现三个事件至少有一个出现用

A,B,C

间的运算表示出来.随机事件样本空间随机试验事件运算包含互斥并交差对立小结--随机试验的讨论历程

那么要问:如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题.

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事率件概的

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！概率与频率有许多相似的地方，首先考虑频率的有关性质1.2概率的定义及其性质1.2.1频率（Frequenncy）

Definition1.1

设在相同条件下，重复进行了n次试验，若随机事件A在这n

次试验中发生了nA

次，则比值称为事件

A在

n次试验中发生的频率，其中nA

称为事件A发生的频数。频率的性质设

A是随机试验

E的任一事件,则

由频率的定义，容易看出频率具有以下的三条基本性质试验序号7234222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502例1

将一枚硬币抛掷5次、50、500次,各做7遍,

波动最小1512123456随n的增大,频率f

呈现出稳定性观察正面出现的次数及频率.下面考察频率的一个重要特性—频率的稳定性从上述数据可得抛硬币次数

n较小时,频率

f的随机波动幅度较大,但随

n的增大,频率

f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率

f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.频率有随机波动性，即对于同样的

n，所得的

f不一定相同;实验者德.摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005K.皮尔逊K.皮尔逊随n的增大,正面出现的频率逐渐稳定于0.5历史上几次著名的掷硬币试验1.2.2概率的定义(Definitionofprobability)

可见,在大量重复的试验中,随机事件出现的频率具有稳定性.即通常所说的统计规律性.

在历史上它一直是概率论研究的一个重大课题。相应地，我们有如下的概率的统计定义：Definition1.2

对于概率的统计定义虽然直观，易被人们接受，但是不便于实际应用。

定义中常数p的存在只是人们经过大量观察之后的推断，不便于实际应用，因为我们不可能对每一事件都做大量的重复试验，从中得到频率的稳定值。也不便于理论研究。这就需要概率的公理化定义：Definiton1.3从n

个元素中任取r

个进行组合或排列，求取法数.排列讲次序（321≠132），组合不讲次序（321=132）全排列：An=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.3排列、组合公式Formulaofarrangementandcombination组合组合：组合数公式的几个常用性质1.2.4概率的性质

Ω解

ΩAB例1BA⑴由图示⑵由图示故得得

ΩAB⑶由图示AB又因而得例2

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.解

64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为⑴确定概率的古典方法

我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为

古典概型(Classicalprobability)1.3古典概型与几何概型若一个试验有如下特征，则称这个试验为古典概型.

有限性在试验中它的全部可能结果只有有限个，即试验的样本空间中的元素只有有限个，亦即基本事件的数目有限。不妨设为n个，记为ω1,ω2,…,ωn，而且这些事件是两两互不相容的。

等可能性

试验中各个基本事件ω1,ω2,…,ωn

发生或出现的可能性相同，即它们发生的概率都一样。

古典概型在概率论中占有相当重要的地位。一方面，由于它简单，通过对它的讨论有助于理解概率论的许多基本概念；另一方面，古典概型在产品质量抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要的应用。显然，古典概型是有限样本空间的一种特例。若记且有对任意事件A，设它所包含的基本事件数为m，如则事件A的概率为古典概型中事件概率的计算公式：古典概率的计算依赖排列与组合的计数知识.

法国数学家拉普拉斯在1812年把上式作为概率的一般定义，现在通常称它为概率的古典定义，只适合于古典概型场合。例4

设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回解基本事件总数为A所包含基本事件的个数为故地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率.例5

设袋中有4只红球和6只白球,现从袋中有放回地解第1次摸球→10种第2次摸球→

6种→

4种→10种→10种基本事件总数事件A所包含基本事件的个数为第1次摸到白球第2次摸到白球第3次摸球第3次摸到红球→

6种故摸球3次,求摸到两次白球、一次红球的概率.古典概型的特点：基本事件的等可能性有限个样本点问题question

怎样推广到“无限个样本点”而又有某种“等可能性”？

认为任一点能钻探到石油是等可能的,则所求概率为

某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？解例⑵确定概率的几何方法——几何概率发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则“面积”改为“长度”、“体积”几何概型的定义设随机试验的样本空间为有界区域事件试验结果落在区域

中称为几何概型注：①②事件A发生的概率与位置无关,只与A的面积有关，这体现了某种“等可能性”

例9：某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时.求他等候不超过10分钟的概率.例10：在400ml自来水中有一个细菌，现从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发现细菌的概率.

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.（1）条件概率的概念先看一个例子:

如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

1.4条件概率解:试验的样本空间为Ω={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}括号中第一个位置表示老大，第二个位置表示老二．

例如：一家庭有2个孩子，考虑：(1)求两个都是男孩的概率；(2)已知其中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率．

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

(1)1.4.1条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.条件概率的基本性质：非负性对于任一事件

有规范性对于必然事件Ω有可列可加性设是两两不相容事件列，则有条件概率也是一种概率证设有两两不相容亦两两不相容③（1）条件概率的性质2)从加入条件后改变了的情况去算（2）

条件概率的计算1)用定义计算:P(B)>0

掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数

例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)1.4.2乘法公式(Multiplicationformula)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率

有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记

Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥例子:1.4.3全概率公式和贝叶斯公式

将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥该球取自哪号箱的可能性最大?

这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:（2）贝叶斯公式看一个例子:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率

.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用.

它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的前验概率和后验概率.（1）两事件的独立性

一般来说，对于事件A,B，概率P(B)与条件概率P(B|A)是两个不同的概念。一般来说，P(B)≠P(B|A),即事件A的发生对事件B的发生有影响。若事件A的发生对事件B的发生没有影响，则有P(B|A)=P(B)。1.5独立性显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义

按照独立性的定义，必然事件Ω与不可能事件φ与任何事件都是独立的。

例

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

可见P(A)=P(A|B),

即事件A、B独立.则P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13