第三章(1)连续信号的傅里叶级数

第三章傅里叶变换和系统的频域分析3.1信号分解为正交函数3.2傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的频谱（傅里叶变换）3.5傅里叶变换的性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7LTI连续系统的频域分析3.8

取样定理本章主要内容:变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应（零状态响应）。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。

为各相应方向的正交单位矢量。

它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。3.1信号分解为正交函数（2）正交函数集在区间上的n个函数（非零）……,其中任意两个均满足

为常数，则称函数集为区间

内的正交函数集。（1）正交函数在区间上定义的非零实函数

和若满足条件则函数与为在区间的正交函数。一、正交函数集（3）完备正交函数集之外不存在函数

如果在正交函数集

满足等式

，则称该函数集为完备正交函数集。

在区间

内组成完备正交函数集。对于复函数:若复函数集

在区间

满足

，则称此复函数集为正交函数集。

复函数集

在区间

内是完备的正交函数集。

其中

。二、信号分解为正交函数设有n个函数

在区间

构成一个正交函数空间。将任一函数

用这

个正交函数的线性组合来近似，可表示为：

根据最小均方误差原则，可推出：

式中：如果分解的项数越多则误差愈小。即

，均方误差

，即

在区间

内分解为无穷多项之和。3.2傅里叶级数

将周期信号

在区间

内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。

一、周期信号的分解设有一个周期信号

，它的周期是

，角频率

，它可分解为：其中

称为傅里叶系数，

。那么,傅里叶系数如何求得呢?由上式可见，

是

的偶函数

，

是

的奇函数，

由于是同频率项,因此可将其合并式中：

则有

可见，

是

的偶函数，即有

而

是的奇函数，即有

可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量，一次谐波或基波，它的角频率与原周期信号相同，二次谐波，以此类推，三次，四次等谐波。

……一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。**结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。例3.2-1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数。解：

它仅含有一、三、五、七....等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波图

3.2-3方波的组成（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。（3）即使

，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有

的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。

(吉布斯现象）主体

-----低频细节------高频若给定的

有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而式计算较为简便。（1）

为偶函数则有

，波形对称于纵坐标。

二、奇偶函数的傅里叶系数从而有

（2）

为奇函数则有

，波形对称于原点。进而有这时有实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。其中**一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。如果

的前半周期波形移动

后，与后半周期波形对称于横轴即：

，称为奇谐函数。

此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即

0t-TT-T/2f

(t)T/21-1图

3.2-6奇谐函数（3）

为奇谐函数例3.2-2正弦交流信号

经全波或半波整流后的波形分别如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。（a）全波整流信号

（b）半波整流信号解

（1）全波整流信号图（a）的全波整流信号可写成（其周期

，

为原正弦信号角频率

）

由于它是t的偶函数，故

，

基波角频率

与信号角频率

相等,

并令

，对上式进行变量替换得:可见，它除直流外，仅含有

的偶次谐波。

想一想：本题中若把

f1(t)看成以T/2为周期，则由于它仍是的偶函数，故

，令

，则

对上式进行变量替换:（2）半波整流信号图（b）的半波整流信号可写为（其周期

）它的傅里叶级数可直接由下式求出本题也可将它分解成奇函数和偶函数两部分：

讨论

关于n的奇偶性。是n的偶函数。是n的奇函数。是n的偶函数。是n的奇函数。三、傅里叶级数的指数形式将上式第三项中的

用

代换，并考虑到

是

的偶函数，即

；

是

的奇函数,

则上式可写为

:如将上式中的

写成

（

），则上式可以写成:令复数量

，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为

，相角为

，则得傅里叶级数的指数形式为

复傅里叶系数

这就是求指数形式傅里叶级数的复系数

的公式。

任意周期信号

可分解为许多不同频率的虚指数信号

之和，其各分量的复数幅度（或相量）为

。