概率论第七章7-2

§2估计量的评选标准

对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。

问题：采用哪一个估计量好?1X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本。设总体X~F(x,

),其中

为未知参数。为

的一个估计量。2估计量而当样本(X1,…,Xn)有观测值(y1,…,yn)时，估计值为

是一个随机变量，当样本(X1,…,Xn)有观测值(x1,…,xn)时，估计值为3由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.

因此评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果来判断，而必须根据估计量的分布从整体上来做评价。当样本值取不同的观测值时，希望相应的估计值在未知参数真值附近摆动，而它的均值与未知参数的真值的偏差越小越好.当这种偏差为0时，就导致无偏性这个标准.4（一）无偏性则称为的无偏估计量.5作为的估计的系统误差,无偏估计的意义就是无系统误差。在科学技术中,将称为以

例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但反复将这一估计量使用多次，平均来说其偏差为0.67证明：8试证明不论总体服从什么分布k阶样本矩例2设总体X的k阶原点矩存在，记其为k

X1,X2,…,Xn为来自总体的样本，是k阶总体矩k的无偏估计量.解：由于因此样本k阶矩是总体k阶矩的无偏估计量910例3

设总体X

N(，

2)，其中参数，

2未知，试用最大似然估计法求，

2的估计量，并问是否是无偏估计？11例4

设总体X的概率密度为其中,参数>0

为未知,X1,…,Xn为来自总体的样本.试证,和nZ=n{min(X1,…,Xn)}都是的无偏估计量.解：因为故是的无偏估计X的分布函数为12先求Z的分布函数13对其求导数得到Z的密度函数为：指数分布即Z的分布函数14故因此,nZ也是的无偏估计量.1516

例5设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样

本，且E(X)=。以下两个估计是否为

的无偏估计（答：是）（答：是）

无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这一概念.的大小来决定二者和一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数

的无偏估计量，比较我们可以谁更优.17举个例子说明有效性18到商店购买电视机，看中了其中两种品牌，分别由甲乙两厂生产，外观、音质和画面都不错.根据市场调查，甲乙两厂生产的两种电视机平均使用寿命相同，都是20年.甲厂生产的电视机质量较稳定，最低使用寿命18年，最高可以使用22年；乙厂生产的电视机质量稳定性差一些，最差的使用10年就坏了，但是最好的可以使用30年.选用哪一个厂家生产的电视机呢？19若将电视机的使用寿命视为随机变量，甲乙两厂生产的电视机使用寿命均值相等，但是乙厂的质量不稳定，即方差较大.从稳健的角度出发，显然愿意购买甲厂生产的电视机，其风险较小，即方差较小，质量稳定.20集中或分散程度用DX

衡量散集中EXEX(二)有效性都是参数

的无偏估计量，若设和21例6试证当n>1时，例3中无偏估计量比无偏估计量nZ=n{min(X1,…,Xn)}有效2223（三）相合性

设总体X的k阶矩存在，则样本的k阶矩是总体k阶矩的相合估计量24我们介绍了参数点估计，讨论了估计量的优良性准则.给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法.

参数点估计是用一个确定的值去估计未知的参数.看来似乎精确，实际上把握不大.为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.2526可信度：越大越好估计你的年龄

八成在21－28岁之间被估参数可信度范围、区间区间：越小越好§3区间估计27

引例在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.为此，我们希望确定一个区间来估计参数真值,并且满足：28a

使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的b

区间估计的精度要高.29一置信区间的定义(1)当X是连续型随机变量时，对于给定的，按照要求求出置信区间(2)当X是离散型随机变量时，对于给定的，常找不到区间使得此时，找区间使得至少为且尽可能接近303132

2要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.3

估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.二构造置信区间的方法1.枢轴量法3334即

此时是参数

的一个置信水平为1-

的置信区间.2.如何确定a,b希望置信区间尽可能短.

任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.35在枢轴量W概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b36

即使枢轴量W的概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.3738求参数的置信水平为的置信区间.

例1设X1,…,Xn是取自正态总体

的样本，解：寻找一个样本和待估参数的函数,要求其分布为已知.有了分布，就可以求出W取值于任意区间的概率.对给定的置信水平对于给定的置信水平,根据W的分布，确定一个区间,使得W取值于该区间的概率为置信水平.使39对给定的置信水平使从中解得40简记为的一个置信水平为的置信区间4142说明：(2)置信区间的中心是样本均值(3)置信水平越大，越大，因此置信区间越长，精度越低.(4)样本容量n越大,置信区间越短,精度越高置信区间的长度为(1)ln越小，置信区间提供的信息越精确因为方差越大,随机影响越大,精度越低43例2

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