2017学年高中数学学业分层测评13向量的概念（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9学必求其心得，业必贵于专精PAGE学业分层测评（十三)向量的概念（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1。下列说法正确的个数是（）（1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；（3）非零向量的单位向量是唯一的。A.0 B.1C.2 D.3【解析】（1)中温度和功不是向量；(2）零向量的方向不确定,而不是没有方向，所以(1)（2）错误.【答案】B2。下列结论正确的是(）A。向量必须用有向线段来表示B。表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段eq\o(AB,\s\up13(→)）和eq\o（BA，\s\up13（→)）是同一向量D。有向线段eq\o（AB,\s\up13（→））和eq\o(BA,\s\up13（→））的大小相等【解析】向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等,方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段eq\o（AB,\s\up13(→）)和eq\o(BA，\s\up13(→)）的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确。【答案】D3.给出下列四个命题：①若｜a|＝0,则a＝0;②若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－b;③若a∥b,则|a|＝｜b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确的命题有(）A.1个 B。2个C。3个 D。4个【解析】对于①,前一个零是实数，后一个应是向量0。对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定。对于③，两个向量平行,它们的方向相同或相反，模未必相等。只有④正确.故选A。【答案】A4.数轴上点A,B分别对应－1、2，则向量eq\o（AB,\s\up13（→））的长度是(）A.－1 B。2C.1 D.3【解析】易知|eq\o(AB，\s\up13（→）)｜＝2－(－1)＝3,故选D。【答案】D5。(2016·长春十一中期末)若｜eq\o(AB,\s\up13(→)）｜＝｜eq\o（AD，\s\up13(→）)｜且eq\o(BA，\s\up13(→)）＝eq\o(CD，\s\up13（→）)，则四边形ABCD的形状为（）A.平行四边形 B。矩形C.菱形 D.等腰梯形【解析】由eq\o（BA,\s\up13（→））＝eq\o(CD，\s\up13（→））知四边形为平行四边形；由｜eq\o(AB，\s\up13（→))｜＝｜eq\o（AD，\s\up13(→)）|知四边形ABCD为菱形。故选C。【答案】C二、填空题6。已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB，\s\up13（→）)是平行向量，与eq\o（BC,\s\up13(→))是共线向量,则m＝________。【解析】因为A,B，C三点不共线，所以eq\o（AB，\s\up13（→）)与eq\o(BC,\s\up13(→))不共线，又因为m∥eq\o(AB,\s\up13（→)）且m∥eq\o(BC,\s\up13（→))，所以m＝0。【答案】07.给出以下五个条件:①a＝b；②｜a｜＝|b｜；③a与b的方向相反；④｜a|＝0或|b｜＝0；⑤a与b都是单位向量。其中能使a∥b成立的是________。（填序号）【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向，不涉及大小。很明显仅有①③④。【答案】①③④三、解答题8。O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在如图2。1.4所示的向量中：图2。1。4(1)分别找出与eq\o（AO,\s\up13（→)），eq\o（BO，\s\up13(→））相等的向量；（2)找出与eq\o（AO,\s\up13(→）)共线的向量；(3）找出与eq\o（AO，\s\up13(→））模相等的向量;(4）向量eq\o（AO，\s\up13(→）)与eq\o（CO，\s\up13(→))是否相等？【解】（1)eq\o(AO,\s\up13（→))＝eq\o（BF,\s\up13（→)），eq\o（BO，\s\up13(→)）＝eq\o(AE,\s\up13(→）).(2）与eq\o(AO，\s\up13(→)）共线的向量有：eq\o（BF，\s\up13(→))，eq\o(CO,\s\up13(→）），eq\o(DE，\s\up13(→))。（3)与eq\o（AO,\s\up13（→）)模相等的向量有:eq\o（CO,\s\up13(→）)，eq\o（DO，\s\up13(→))，eq\o(BO，\s\up13(→）)，eq\o(BF,\s\up13（→）),eq\o(CF，\s\up13（→)），eq\o(AE,\s\up13(→）)，eq\o(DE，\s\up13（→））。(4)向量eq\o（AO,\s\up13（→）)与eq\o（CO，\s\up13（→)）不相等，因为它们的方向不相同.9。如图2­1.5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq\o(AB,\s\up13（→)）＝eq\o(DC，\s\up13(→)）且eq\o（CN,\s\up13（→)）＝eq\o（MA，\s\up13（→）），求证：eq\o（DN,\s\up13(→))＝eq\o（MB，\s\up13（→)）.【导学号：72010041】图2。1。5【证明】因为eq\o（AB,\s\up13(→)）＝eq\o(DC,\s\up13(→）)，所以｜eq\o（AB，\s\up13(→))|＝|eq\o（DC,\s\up13（→）)|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA，\s\up13（→))｜＝｜eq\o(CB,\s\up13(→）)｜且DA∥CB。又因为eq\o(DA,\s\up13(→）)与eq\o(CB,\s\up13(→）)的方向相同，所以eq\o（CB,\s\up13(→））＝eq\o（DA，\s\up13(→))。同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM，\s\up13（→）)＝eq\o（NA,\s\up13（→））。因为｜eq\o（CB，\s\up13（→））｜＝｜eq\o(DA,\s\up13（→))｜，|eq\o（CM,\s\up13（→)）｜＝｜eq\o（NA,\s\up13（→）)|，所以｜eq\o（MB，\s\up13(→））｜＝｜eq\o（DN，\s\up13(→）)｜.又eq\o(DN，\s\up13(→))与eq\o(MB,\s\up13(→）)的方向相同,所以eq\o(DN，\s\up13(→))＝eq\o(MB,\s\up13（→))。［能力提升]1.已知向量a,b是两个非零向量,eq\o(AO，\s\up13(→）)，eq\o（BO,\s\up13（→）)分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（）A.eq\o(AO,\s\up13(→))＝eq\o（BO,\s\up13（→)) B。eq\o（AO,\s\up13(→))＝eq\o(BO,\s\up13(→））或eq\o（AO，\s\up13(→）)＝eq\o（OB，\s\up13（→）)C。eq\o（AO，\s\up13(→))＝eq\o(OB，\s\up13(→）) D。eq\o（AO,\s\up13（→))与eq\o(BO,\s\up13（→))的长度相等【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又eq\o(AO，\s\up13(→))与a同方向，eq\o(BO，\s\up13（→)）与b同方向，所以eq\o（AO,\s\up13(→）)与eq\o（BO，\s\up13(→）)方向关系不确定，所以A,B，C均不对.又eq\o(AO,\s\up13（→）)与eq\o(BO,\s\up13(→）)均为单位向量，所以｜eq\o(AO,\s\up13（→))｜＝｜eq\o(BO，\s\up13(→))｜＝1。【答案】D2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r（2）km到达D地.画图表示向量eq\o(AB，\s\up13(→）)，eq\o(BC,\s\up13(→）），eq\o(CD，\s\up13(→））,并指出向量eq\o(AD，\s\up13（→）)的模和方向.【解】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限,向量eq\o（AB，\s\up13（→)），eq\o（BC,\s\up13(→）），eq\o(CD,\s\up13(→））如图所示,由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2000km。又∠ACD＝45°,