第二章 格林定理 镜像法

2.9格林定理互易定理2.9.1格林定理在上式中，令则:即:

这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面的外法向。该式称为格林第二恒等式。格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分解，在电磁场理论中是很重要的定理之一2.9.2格林互易定理

互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和应用它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布处所产生的电位间存在互易关系。

现测得各带电导体的电位为体电荷元处的电位为体电荷密度变为，相应的电位变为，则有

当各导体的电荷变为和这是格林互易定理的普遍形式证明：现令：证毕（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布

（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体

2.10

唯一性定理镜像法

在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下的电磁场问题。

如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。2.10.1

唯一性定理设在区域V内，和

满足泊松方程，即:在V的边界S上和满足同样的边界条件，即:令φ=φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:由于▽

2φ=0，所以有:在S上φ=0，因而上式右边为零，因而有:或者这样来证明

设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一，至少有两组解

式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有

和

在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件及不同边界条件的场解是唯一的2.10

镜像法2.10.1平面镜像法例4-1

求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。图4-1无限大导体平面上点电荷的镜像

当z>0时，▽2φS=0；当z=0时，φ=0；当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。解：由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：图4-2相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像

2.10.2球面镜像法例4-2

如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。图4-3球面镜像

(a)球面镜像原问题；(b)等效问题解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，这样球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加，即:当计算球面上一点的电位时，有:式中r10、r20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中q′和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定q′、b的两个方程：解之得:可以算出球面上总的感应电荷qin=-qa/d=q′。如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q′，其位置和大小由式(4-9)确定；另一个是q″,q″=-q′,q″位于球心。如果导体球不接地，且带电荷Q，即q′位置和大小同上，q″的位置也在原点，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。2.10.3圆柱面镜像法图4-5例4-3用图(a)导体平面与线电荷；(b)等位线例4-4

线密度为ρl

的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图4-5(a)所示，求电位及等位面方程。解：同理得镜像电荷-ρl的电位：任一点(x,y)的总电位：用直角坐标表示为:等位线方程为:这个方程表示一簇圆，圆心在(x0,y0)，半径是R0。其中：每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为:例4-5

两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是2d，如图4-6，求导体单位长的电容。图4-6平行双导体

解:设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl和-ρl代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。解之得:当b>>a时，2.10.4平面介质镜像法例4-6

设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0及x>0的半空间，在介质2中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图4-7(a