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文档简介
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质一般地,对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?1.“杨辉三角”的来历及规律
杨辉三角展开式中的二项式系数,如下表所示:
11
121
1331
1464115101051
1615201561
………………二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是:
从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:
当时,其图象是右图中的7个孤立点.二项式系数的性质2.二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式得到.图象的对称轴:二项式系数的性质(2)增减性与最大值
由于:所以相对于的增减情况由决定.
二项式系数的性质(2)增减性与最大值
由:
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
可知,当时,二项式系数的性质(2)增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数
取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。(3)各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中,令,则:
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:同时由于,上式还可以写成:这是组合总数公式.
一般地,展开式的二项式系数有如下性质:(1)(2)(3)当时,(4)当时,课堂练习:1)已知,那么=
;2)的展开式中,二项式系数的最大值是
;3)若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则n=
;
例1:的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申:1、的展开式中,系数绝对值最大的项是()A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的只有第6项的系数最大,则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416例2、若展开式中前三项系数成等差
数列,求(1)展开式中含x的一次幂的项;(2)展开式中所有x的有理项;(3)展开式中系数最大的项。1、已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值是_______
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是()
A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+
)n展开式中含x-2的项的系数为12,求n.5.已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106,求x的值.4D1260310或1/10课堂练习1.等于()
A.B.C.D.
2.在的展开式中x的系数为(
)
A.160B.240C.360D.8003.求的展开式中项的系数.4.已知那么的展开式中含项的系数是
.
CB15
二项展开式中的二项
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