习题课2常用逻辑用语的应用导学案

习题课2常用逻辑用语的应用(1分钟).理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断条件间的充要关系..理解全称量词与存在量词的意义，能正确对含有一个量词的命题进行否定..能根据充要关系或命题间的逻辑关系，求参数的取值范围.(5分钟)1.命题“VxK),f-xK)”的否定是().A3x<0,^-x<0B.Vx>0,班大<0C.3x>0,x2-.、之OD.M加，x2-x<0【解析】根据全称量词命题的否定的定义可知，命题“veo,炉-启0”的否定是“土仑0,Px<0”.【答案】D.若是“Q243”的充分不必要条件，则实数〃的取值范围是0.A.”<1B.«<1C.〃>1D.«>1【解析】因为是“Q2.-3”的充分不必要条件，所以{M-l<x<3}是。伙>2小3}的真子集，则2公3W1,解得它1.【答案】B.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是.【解析】该命题是存在量词命题，改量词，否结论，故该命题的否定是“任意一个三角形都有外接圆”.【答案】任意一个三角形都有外接圆.已知集合A={x|lvx<3},集合8=卜|2"7Vx(1)当m=-l时,求AU&(2)若'"£8”是的必要不充分条件，求实数机的取值范围.【解析】(1),••当m=-1时,B={x[-2<x<2],且A={x|l<a,<3},.•・AU8={M-2<x<3}.(2)：是“工£人”的必要不充分条件，2m<1,-解得"£-2,,1-m>3,・•・实数m的取值范围为制F-2}.(探究1用时8分钟，探究2用时8分钟，探究3用时9分钟)探究1：充分条件、必要条件的探求及应用【例1】已知集合片{升2人10},非空集合S={x|l-wS\W+间.是否存在实数加，使得〃，是“x£S”的充要条件?若存在，求出实数，〃的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】若‘々£尸'是WS”的充要条件，则。=5,{1-m=-2,(m=3»十&”所以无解.1+m=10,(th=9,故不存在实数机，使得“x£P”是“x£S”的充要条件.【变式设问】本例条件不变，若"xeCrP”是~£CrS”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【提示】由例题知P={R-2》W10},因为“x£CrP”是“x£CrS”的必要不充分条件，所以CrS^CrH所以年S,即{a-|-2<x<10泛“|1-m<x<1+/»),所以11加工2或[1加<2所以哈外(l+m>10(1+m>10,故实数m的取值范围是m>9.【方法小结】根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【针对训练1](1)命题“对一切1—3,『-<区0"为真命题的一个充分不必要条件是().Az/>9B.a<9C.67>10D.«<10⑵若“xv-2或心＞3”是的必要不充分条件，则实数。的最小值为.【解析】(1)命题“对一切1-3,F-aWO"="对一切0W3,/%”=9%,贝［色10是命题“对一切1g3,f-aWO”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.(2)因为》＜-2或工＞3”是“心卬”的必要不充分条件，所以｛小＞〃)是｛小＜-2或Q3｝的真子集，所以生3,故。的最小值为3.【答案】⑴C；(2)3探究2：全称量词命题与存在量词命题的综合问题【例2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出命题的否定，并判断其真假：(l)p：Vx£R,炉j+30；(2)p：所有的正方形都是矩形；(3)p：2.veR,『+2x+8s0：(4)p：至少有一个实数x,使j?+1=0；(5)/7：与同一平面所成的角相等的两条直线平行.【方法指导】本题中既有全称量词命题乂有存在量词命题，对它们否定时要先改变量词，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，再否定结论.【解析】⑴〃是全称量词命题，〃的否定：3xeR,也出〈0.因为对于任意的X，炉“4=(壮)2沙，所以〃的否定为假命题.(2)〃是全称量词命题，〃的否定：存在一个正方形，它不是矩形.因为正方形是特殊的矩形，所以〃的否定为假命题.(3)〃是存在量词命题，〃的否定：V.veR,x2+2x+8＞0.因为对于任意的x,x2+2jt+8=(x+1)2+727＞0,所以〃的否定为真命题.(4)〃是存在量词命题，〃的否定：VaGR,好+1#).因为当下-1时，3+1=0,所以〃的否定为假命题.(5)〃是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，〃的否定：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行.显然〃的否定为真命题.【方法小结】1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法(1)改变量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改变.(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.2.全称最词命题与存在最词命题的真假判断方法(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x=xo,使得p(xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x=xo,使p(x0)成立即可，否则，这一存在量词命题就是假命题.【针对训练2】⑴命题“VQ1,卷>0”的否定是0.X-1TOC\o"1-5"\h\zA.3x<l,20X-lX-1C.Vx>l,三0D.V.K1,—<0X-lx-l(2)给出以下命题：①VxER,丁>1；②命题“&WR,->0"的否定是比0”；③命题“有的三角形是直角三角形”是全称量词命题，并且是真命题.其中为假命题的是.(把所有符合要求的命题序号都填上)【解析】(I)命题的否定是土>1,—0,故选B.(2)令Z,则(-1)3",故①为假命题；命题的否定是F2烂0”，故②为假命题；”有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，故③为假命题.【答案】⑴B；(2)①②③探究3：由命题的真假确定参数的取值范围［例3］已知p：存在x£R,使得"*+1WO,q：任意％£R,/+1+〃?>0.若〃和g均为假命题，求实数机的取值范围.【方法指导】当〃是假命题时，不等式〃*+1>0恒成立，直接求解；先考虑q为真命题的情况，再取补集，得到机的取值范围.进而取交集得解.【解析】当〃是假命题时，/7*+1>0恒成立，则有/佗0;当是真命题时，J=l-1\m>0,14w<0,所以机，.因此由〃，g均为假命题得I<1即0W"号，所以实数m的取值范围为0</n<；.4【变式设问1】在本例条件下，若p,9均为真命题，求实数加的取值范围.【解析】依题意当〃是真命题时，加<0；当4是真命题时，加m>1所以由4'可得加£0.771V0,【变式设问2】在本例条件下，若p,q有且仅有一个为假命求实数〃，的取值范围.m<-,【解析】当〃真4假时，一4所以mV0；m<0,当〃假q真时，所以〃吟所以实数m的取值范围是机£或/〃<0.4【方法小结】根据命题的真假求参数取值范围的策略全称最词命题可转化为恒成立问题，存在最词命题可转化为存在性问题.【针对训练3】⑴若命题“v〃>0,使得I,2,〃不能构成三角形”是假命题，则实数〃的取值范围是.(2)已知命题〃：函数产的最小值小于0；命题/当心>3时，关于％的函数产2炉+办+4的图象随％的增大而上升.若p,q有且仅有一个为假命题，则实数。的取值范围是.【解析】(1)根据题意，命题'勺〃>0,使得1,2,。能构成三角形”是真命题，(a+1>2,a<1+2,所以l<a<3.a>0»(2)因为函数尸的最小值为小1,所以命题〃为真命题等价于小1<0,即〃<1：命题q为真命题等价于-53,即生-12.若〃真q假，则。<-12；若〃假q真，则生1.故实数的取值范围是aNl或av-12.【答案】(l)lv〃v3；(2)a>\或”12等价转化思想的应用(6分钟)【例4】己知集合A=*|2a-1<x<a+1},B={x|O<r<l}.(⑥在①册/,②〃=(),③。=1这三个条件中选择一个条件，求人UB：(2)若A为非空集合，“x£A”是“x七Cr8”的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.【解析】(I)若选择①：当《=-1时，A={x|-3<x<0},因为8={#)球1}，所以AU8={.H-34E1}.若选择②：当。=0时，A={M-l<v〈l}，因为5={#)姿1},所以AUB;3・1位1}.若选择③：当。=1时，A={.r|l7<2},因为8=国0001}，所以人口8=国0夕<2}.(2)因为B={.t|0<r<l),所以Cr8={Mv<0或Q1},因为集合A={x|2a-l<xva+l}不是空集，所以加-lVa+l,解得冰2又因为是“xwCrB”的充分不必要条件，所以集合A是集合CrB的真子集，即a+\<0或2a-\>\t解得a<-l或a>\.综上所述，实数a的取值范围为a<-\或1&<2.【方法小结】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，将充分不必要条件问题转化为集合真子集问题是本题解题的关键.素养图谱(5分钟)1.命题”所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是0.A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.【答案】D.“0=1”是“⑷口”成立的0.A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D