场波教案-2矢量分析-W

第二章矢量分析主要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理1.标量和矢量2.标量场和矢量场3.标量场的方向导数与梯度4.矢量场的通量与散度5.矢量场的环量与旋度6.

无散场和无旋场7.格林定理8.矢量场的惟一性定理9.亥姆霍兹定理10.正交曲面坐标系1标量及矢量标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度V、电场E等如：温度T、长度L等其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。1.1定义根据矢量加法运算：一个矢量函数可以分解为三个标量函数，在直角坐标系下的矢量表示:三个方向的单位矢量用表示。所以：其中：位置矢量r和距离矢量R1.2矢量的代数运算1.加法:

矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：2.减法：换成加法运算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.矢量的标积与矢积（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：

两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：

标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：2.标量场和矢量场场的定义：若对于空间域上每一点都对应着某个物理量的一个标量(数量)或一个矢量，则称此空间域确定了这个物理量的场。标量场如温度场,电位场,高度场等。矢量场如流速场,电场,涡流场等。矢量场--矢量线形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面)。其方程为其方程为三维场在直角坐标下,场线方程:二维场

矢量线等值线方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

例如标量场

在

P点沿

l方向上的方向导数定义为Pl3.标量场的方向导数与梯度梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场

u

的梯度可表示为式中的grad是英文字gradient的缩写。某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。若引入算符，在直角坐标系中该算符可表示为则梯度可以表示为例：求一个二维标量场的等值线方程和梯度解：等值线方程为：例1

三维高度场的梯度高度场的梯度

与过该点的等高线垂直；

数值等于该点位移的最大变化率；

指向地势升高的方向。

梯度的物理意义

标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;

梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。

梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;

三维高度场的梯度例2电位场的梯度电位场的梯度

与过该点的等位线垂直；

指向电位增加的方向。

数值等于该点的最大方向导数；

电位场的梯度通量：矢量

A

沿某一有向曲面

S的面积分称为矢量

A通过该有向曲面

S的通量，以标量

表示，即

4.矢量场的通量与散度当矢量进入这个闭合面时---存在汇聚该矢量场的洞（或汇）---通量为负。通量可为正、或为负、或为零。

当矢量穿出某个闭合面时---存在产生该矢量场的源----通量为正前述的源称为正源，而洞称为负源。

矢量E沿有向曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的通量矢量场的通量

若S为闭合曲面，，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:

由物理得知，真空中的电场强度

E

通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量

q与真空介电常数

0

之比，即，闭合面中存在的电荷通量源正电荷正正源负电荷负负源无电荷零无源散度：当闭合面

S

向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA表示，即解释：如果包围点P的闭合面dS所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在式中div

是英文

divergence的缩写，

V为闭合面

S包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。直角坐标系中:散度可用算符

表示为:散度的物理意义

散度代表矢量场的通量源的分布特性•

A=0(无源）•

A=0(负源)•

A=0(正源)

在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；高斯定理或者写为

从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域

V中的场和包围区域

V

的闭合面

S上的场之间的关系。因此，如果已知区域

V中的场，根据高斯定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。标量场的梯度矢量场的旋度？算子矢量场的散度拉普拉斯算子环量：矢量场

A沿一条有向曲线

l的线积分称为矢量场

A

沿该曲线的环量，以

表示，即5.矢量场的环量与旋度若在闭合有向曲线

l上，矢量场

A的方向处处与线元

dl

的方向保持一致，则环量

>0；若处处相反，则

<0

。环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。已知真空中磁通密度

B沿任一闭合有向曲线

l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I与真空磁导率

0

的乘积。即

式中，电流

I的正方向与

dl的方向构成

右旋关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。⊙I1I2旋度是一个矢量。以符号curlF表示矢量F的旋度，其方向是使矢量F具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中curl是环量，rot代表旋度；n为最大环量强度的方向上的单位矢量，S

为闭合曲线

l

包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

en1en2en直角坐标系中，旋度可表示为

或者无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

斯托克斯定理

同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域

S中的场和包围区域

S

的闭合曲线

l上的场之间的关系。或者写为

散度处处为零的矢量场称为无散场。6.无散场和无旋场两个重要公式之一：上式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。两个重要公式之二：

上式表明，任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

旋度处处为零的矢量场称为无旋场。367格林定理

设任意两个标量场及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场及满足下列等式SV,式中S为包围V的闭合曲面；为标量场在S表面的外法线en

方向上的偏导数。根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为标量第一格林定理。基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。设任意两个矢量场P与Q，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及Q满足下列等式：式中S为包围V的闭合曲面；面元dS的方向为S的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理。基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。格林定理建立了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。现在我们必需考虑如下问题（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）如何唯一的确定一个矢量场？8.矢量场的惟一性定理位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。VSF(r)

若矢量场

F(r)

在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，源分布在有限区域V

中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场

F(r)可以表示为

9.亥姆霍兹定理式中

定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。（1）任一矢量场均有通量源和漩涡源两种激励源激发形成；（2）任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。（3）矢量场的散度和旋度均为0时，矢量场消失，即通量源和漩涡源是产生矢量场唯一的源。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。

10.正交曲面坐标系

已知矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为式中

a,b,c

均为常数圆柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0