广东省东莞市市樟木头职业高级中学2021年高一数学理测试题含解析

广东省东莞市市樟木头职业高级中学2021年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则z=2x－3y的最小值为（

）A.-5 B.-1 C.5 D.11参考答案：A【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.【详解】作出可行域，当直线经过点时，.选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.2.已知向量，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，，则B等于（

）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：A【分析】根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得B.【详解】由正弦定理得：

本题正确选项：A【点睛】本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题.4.已知点A(1，1),B（-1，）直线过原点，且与线段AB有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.设，若，则的值是（

）A.

B．

C.

D．参考答案：D略6.在等差数列{an}中，已知与的等差中项是15，，则（

）A.24 B.18 C.12 D.6参考答案：A【分析】由题得的方程组求解即可，得的通项公式，则可求【详解】由题得,解得,则故答案为:A【点睛】本题考查等差数列的通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题7.已知函数f（x）=1﹣（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是(

)A． B． C．且m≠0 D．参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】首先判断出给出的函数的单调性，然后由定义域和值域列式，进一步说明关于x的一元二次方程由两个不等的实根，结合原题给定的区间可得m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣（x＞0）为定义域内的增函数，要使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则，即a，b为方程的两个实数根．整理得mx2﹣x+1=0有两个不等的实数根．∴m≠0．则△=（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜．又由原题给出的区间可知m＞0．∴实数m的取值范围是．故选B．【点评】本题考查了函数的定义域及其值域，考查了函数的单调性与函数值域的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的判别式与根的关系，是中档题．8.已知数列{an}满足：，则{an}的前10项和为A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用裂项求和法求得数列前10项的和.【详解】依题意，故.【点睛】本小题主要考查裂项求和法求数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题.9.函数在实数集上是减函数，则 （

）A、

B、

C、 D、参考答案：B10.函数的零点所在的区间为

(

)

(A)(0，1)

(B)(1，2)

(C)(2，3)

(D)(3，4)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足约束条件则目标函数的最大值等于______．参考答案：5略12.若函数有两个零点，则实数b的取值范围是__________．参考答案：(0,2)本题主要考查指数与指数函数．因为可知当时，函数与函数的图象有两个交点，即实数的取值范围是．故本题正确答案为．13.正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于____．参考答案：45o

14.如图，正方体，为直线上一动点，则下列四个命题：①三棱锥的体积为定值；②直线与平面所成角的大小为定值；③二面角的大小为定值；④异面直线与所成角的大小为定值.其中真命题的编号是

.（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④略15.设，不等式对满足条件的，恒成立，则实数m的最小值为________．参考答案：【分析】将不等式对满足条件的，恒成立，利用，转化为不等式对满足条件的恒成立，即不等式对满足条件的恒成立，然后用二次函数的性质求的最大值即可。【详解】因为，所以，因为不等式对满足条件的，恒成立，所以不等式对满足条件的恒成立，即不等式对满足条件的恒成立，令，所以，，所以实数m的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.函数的最大值为________.参考答案：

解析：17.（5分）已知a∈{x|（）x﹣x=0}，则f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的减区间为

．参考答案：（3，+∞）考点： 函数的值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 本题可以先将已知集合时行化简，得到参数a的取值范围，再求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断规律，求出f（x）的单调区间，得到本题结论．解答： ∵（）x﹣x=0∴（）x=x，当x＞1时，，方程（）x=x不成立，当x=1时，方程（）x=x显然不成立，当x＜0时，方程（）x＞0，方程（）x=x不成立，当x=0时，方程（）x=x显然不成立，∴0＜x＜1．∵函数f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）中，x2﹣2x﹣3＞0，∴x＜﹣1或x＞3．当x∈（﹣∞，﹣1）时，y=x2﹣2x﹣3单调递减，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）单调递增；当x∈（3，+∞）时，y=x2﹣2x﹣3单调递增，f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）单调递减．∴f（x）=loga（x2﹣2x﹣3）的减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．点评： 本题考查了指数方程、函数的定义域、函数的单调性，本题难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（Ⅰ）求f(x)最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间上的最大值和最小值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为0试题分析：（Ⅰ）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为，函数的周期为；（Ⅱ）由定义域得到的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值试题解析：（Ⅰ）的最小正周期（Ⅱ）考点：1．三角函数式化简；2．三角函数性质19.（本题满分12分）化简参考答案：原式=

略20.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，，，且.（1）设，求证：{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.参考答案：（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先根据和项与通项公式得递推关系式，再根据等比数列定义证明，（2）先根据等比数列通项公式求，得，代入得数列的通项公式．【详解】（1）因为

①，所以

②，②?①得，所以，所以，所以，所以是等比数列．因为首项，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可知，所以．故当时，．又代入上式也符合，所以．【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.21.（12分）已知函数f（x）=x+（m为正的常数），它在（0，+∞）内的单调变化是：在内递减，在内递增．其第一象限内的图象形如一个“对号”．请使用这一性质完成下面的问题．（1）若函数g（x）=2x+在（0，1]内为减函数，求正数a的取值范围；（2）若圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0与直线l：y=kx相交于P、Q两点，点M（0，b）且MP⊥MQ．求当b∈[1，+∞）时，k的取值范围．参考答案：考点： 函数单调性的性质；函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由对勾函数的图象和性质，可知函数在内为减函数．进而构造关于a的不等式，解得正数a的取值范围；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由MP⊥MQ，可得：kMP?kMQ=﹣1，进而由韦达定理，构造关于k的不等式，解得k的取值范围．解答： （1）由对勾函数的图象和性质，可知函数在内为减函数．依题意，，故得a≥2∴a的取值范围是[2，+∞）．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）∵MP⊥MQ，∴kMP?kMQ=﹣1∴，即x1x2+（y1﹣b）（y2﹣b）=0又y1=kx1，y2=kx2∴x1x2+（kx1﹣b）（kx2﹣b）=0，即（*）由得：（1+k2）x2﹣2（1+k）x+1=0由△=[2（1+k）]2﹣4（1+k2）=8k＞0得k＞0①且，代入（*）中得即．由对勾函数的图象和性质知，在b∈[1，+∞）时为增，故．∴，得k≥1②由①②得k≥1．点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，直线与圆的位置关系，直线垂直的充要条件，是函数与解析几何的综合应用，难度中档．22.（13分）定义在区间上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x∈时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）在的表达式；（Ⅱ）求方程f（x）=的解；（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）﹣m|＜2在x∈上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）当x∈时，由图象可求得f（x），由y=f（x）的图象关于直线x=对称，则f（x）=f（﹣x），当时，易求f（﹣x）；（Ⅱ）分﹣，两种情况进行讨论可解方程；（Ⅲ）由条件得：m﹣2＜f（x）＜m+2在x上恒成立，可转化为函数的最值解决，而最值可借助图象求得；解答： （Ⅰ）x∈，A=2，，∴T=2π，ω=1，且f（x）=2sin（x+φ）过（﹣，2），∵0＜φ＜π，∴﹣φ=，φ=，f（x）=2sin（x+），当时，﹣，f（﹣x）=2sin（﹣x+）=2sin（π﹣x）=2sinx，而函数y=f（x）的图象关于直线x