材料力学课件第四章

第四章弯曲应力

杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时,杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲。

§1对称弯曲的概念及梁的计算简图力学模型X杆轴纵向对称面F1F2FAFB构件几何特征构件为具有纵对称面的等截面直杆yz形心受力特征横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内变形特征杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动对称弯曲构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面X杆轴纵向对称面F1F2FAFB平面弯曲梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合

对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。非对称弯曲构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形梁：以弯曲变形为主的杆件静定梁支座反力可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁梁按支承方法的分类悬臂梁3（2）简支梁3（2）外伸梁3（2）固定梁6（4）连续梁4（3）半固定梁4（3）均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式

§2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图FaABFAFBFAFsxM

使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。符号规定：Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0ACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩例题4.1ACCDBBD向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；截开后取左边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。

向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；截开后取右边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。例题4.2求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力1212343455例题4.3一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。例题4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图ABFAFBx图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图.例题4.5XkNkNm

图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.AB例题4.635kN25kNX1X22.5kNkNm分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用剪力图是水平直线.弯矩图是斜直线.弯矩图是水平直线.剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线.

若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.

若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.+-+例题4.74.8kNkNmkNkNm突变规律(从左向右画)1、集中力作用处，FS图突变，方向、大小与力同；M图斜率突变，突变成的尖角与集中力F的箭头是同向。2、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上，大小与M

同，FS图不发生变化。作图示梁的内力图例题4.9kNkNm4.51.55.5kNkNm例题4.10用直接法作图示梁的内力图例题4.11kNmkNABCDADBCFBFB’FAMAFD例题4.12kNkNm叠加法作弯矩图＋FqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL例题4.13+-+-例题4.14+-例题4.15+-结构对称，载荷反对称，则FS图对称，M图反对称结构对称，载荷对称，则FS图反对称，M图对称

§3平面刚架和曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。横梁立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2例题4.16求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm例题4.17等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图AL1L2F例题4.18C2rrABF图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:BC:例题4.19

纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。

纯弯曲时梁横截面上的正应力

§4梁横截面上的正应力.梁的正应力条件实验现象：1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩

长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）例题4.20

试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放例题4.21

图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。例题4.22

梁的正应力强度条件对梁的某一截面：对全梁（等截面）：

长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。kNkNm查表N012.6工字钢WZ=77.5cm3例题4.23

铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。B截面C截面例题4.24如果T截面倒置会如何???

铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa，[σ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。AB例题4.25

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁1.确定F加在辅助梁的位置FAFB令:例题4.26

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁FAFB％％2.确定工字钢型号

图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ]＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。FAFB梁的强度杆的强度例题4.27

验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为0.5kN/m2，工字钢立柱的［σ］＝215MPa。查表:例题4.28

试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。查表:I36a例题4.29简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。例题4.30解：1、计算梁底层微段的伸长量2、梁的最底层纤维的总伸长

承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。例题4.31(a)(b)(c)zzzzB

§5梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件kNkNm一、矩形截面梁的切应力假设：1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的zyFsFs–横截面上的剪力；IZ–截面对中性轴的惯性矩；b–截面的宽度；

SZ＊

–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.

矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。

求σmax,τmax

。细长等值梁例题4.32二、工字形截面梁的切应力

横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5)％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydDdA为圆环形截面面积

如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？ABCDBB最大拉应力发生在B截面上最大压应力发生在Fs=0的截面上ab线上最大切应力发生在BC段

例题4.33

梁的切应力强度条件

最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；

最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.

例题4.34两梁叠加:两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.梁中性层处切应力中性层剪力

§6梁的合理设计一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值1.梁的合理截面

工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理2.根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值1.合理布置梁的支座2.适当增加梁的支座3.改善荷载的布置情况+三、采用变截面梁四、合理利用材料钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的

矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10MPa，试确定此矩形截面h/b的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直