流体力学-07不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础§7–1流体微团运动分析§7–3不可压缩流体连续性方程§7–4以应力表示的粘性流体运动微分方程式§7–6N-S方程§7–7理想流体运动微分方程及其积分§7–8流体流动的初始条件和边界条件§7–9不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件2/6/20231§7-1

流体微团运动分析

由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。如图7—1所示的平面运动中的流体微团。设方形流体微团中心点M的流速为，则微团个侧边的中点ABCD的速度分量分别为：2/6/20232各点的速度中均包含有，由图7—1可见，是平移速度。

以AC为例。因为角点C沿x

方向的速度比角点A快（或慢），所以经过时段后，AC边在x

方向的伸长（或缩短）量为。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，并记为，则1、平移运动2、变形运动（7-1-1）同理（1）线变形2/6/20233（2）旋转运动和角变形运动2/6/20234旋转角速度

将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，记为，根据流体微团旋转角速度的定义得如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即，则称该流动为无旋流动（势流）。若流体微团有旋转运动，即三者中至少有一个不等于零，则称为有旋流动（有涡运动）。2/6/20235

将平面上角变形速度之半定义为流体微团的角速度，记为，由图7-2可知，EMF点的角度变化为角变形速度同理有：2/6/20236在一般情况下，流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复合而成的。设流体微团内某点M0(x，y，z)的流速分量为ux0，uy0，uz0(图7—3)，邻近于M0点的另一点M(x+dx、y+dy、z+dz)的流速分量为2/6/20237同理有：2/6/20238§7–3不可压缩流体连续性方程和一元流连续性方程相似，三元流连续性微分方程的推导，是在流场中选取边长为dx、dy、dz的矩形微元控制体，写出流出和流入该空间的质量流量平衡条件。由于流体不可压缩，质量流量平衡条件可用体积流量平衡条件来代替，即在dt时间内流出和流入微元控制体的净流体体积为零。在dt时间内，沿x轴方向流出和流入微元控制体的净流体体积为：2/6/20239同理，在y轴和z轴方向流出和流入微元控制体的净流体体积为：根据不可压缩流体连续性条件，dt时间内沿x、y、z方向流出和流入微元控制体的净流体体积之和应为零，即：因而此式即为不可压缩流体的连续性微分方程。2/6/202310对于一元流动，单位时间内流进和流出微小段ds内的流体体积之和为：略去高阶微项后，上式简化为：即常量此式为一元流动的连续性方程2/6/202311§7–4以应力表示的粘性流体运动微分方程式粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。因此粘性流体的表面力不垂直于作用面。如在任一点取一微小正六面体，如图7-8，作用在平面ABCD的应力有法向应力与切向应力和。应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。可以证明，流场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示，即：一、粘性流体的内应力2/6/202312二、以应力表示的运动微分方程（动量方程）2/6/202313在粘性流体中取一边长为dx，dy，dz的长方体，见图7-9。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标，读者可自行写出。注意的是各应力的值均为代数值，正值表示应力沿相应坐标抽的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此、

、必为负值。由牛顿第二定律，x方向的运动微分方程如下：2/6/202314化简后，得2/6/202315§7-6纳维—斯托克斯方程

设图7-10所示流体微元的密度为，则微元质量为有势的质量力为设微元的速度为，则质点的加速度为

根据，列出微元在x方向上的运动方程式为2/6/202316图7—10粘性流体的应力分量2/6/202317向量式为：

式（7-6-1）是在条件下对一切牛顿流体都普遍适用的运动微分方程式，亦称之为纳维—斯托克斯方程。2/6/202318方程的物理意义：2/6/202319（7-6-3）

这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳维—斯托克斯方程式（N—S方程）。式中上述方程组的另一种写法为：2/6/202320同理，在柱坐标中（7-6-4）式中2/6/202321在球坐标中，运动方程式（7-6-8）式中2/6/202322§7–7理想流体运动微分方程及其积分当流体为理想流体时，运动粘性系数，纳维——斯托克斯方程简化为：这就是理想不可压缩流体的运动微分方程。第三章中的元流能量方程等均可由此式积分导得。上述方程可以写成下列向量形式：2/6/202323如果流体处于静止状态，，则上式简化为此即欧拉平衡方程——流体平衡微分方程式。2/6/202324理想流体运动积分方程，我们可以采用下式描述：2/6/202325§7–8流体流动的初始条件和边界条件粘性流体的基本方程是二阶偏微分方程，联系高等数学中的微分方程知识，对于某一特定流动，在建立求解的数学模型时，除了根据流动的特点对一般性的基本方程进行简化外．必须同时确定方程的定解条件，也就是流动的初始条件和边界条件。目前，计算流体力学已广泛地应用于解决工程中的流动问题，如何正确合理地给出初始条件和边界条件对于解的正确性和唯一性等尤为重要。但是初始条件和边界条件是有赖于具体的流动的，因此，我们仅介绍一般情况下，涉及较多的初边值条件。我们以粘性不可压缩流体流动为例。2/6/202326初始条件方程组的解在初始时刻应满足的条件。在初始时刻t=t0，给出：式中各量均为已知函数。2/6/202327所谓边界条件是指在流场的边界上，方程组的解应满足的条件。边界大致包括固体壁面，两种流体介质(流动介质和周围介质)的分界而(气——气，气——液，液——液)和管道的出入口等。边界条件在流动介质与固体接触而上若固壁静止，则

实际的流体都具有粘性，但在研究某些流动时，可忽略粘性，将流体看成为无粘性的理想流体，此时固壁的边界条件则是2/6/202328

不同液体的分界面，在一般情况下，分界面两侧液体的速度、压强保持连续下标1，2分别表示工作流体和周围流体。

液体和蒸汽的界面，在不考虑液面上饱和蒸汽中的动量，热量和质量交换时，界面上的边界条件可写成

vn1是液体在平均液面垂直方向上的速度，η是液面在垂直于平均液面方向上的高度。2/6/202329

自由液面，即液体与大气的分界面。如可忽略表面张力的影响，则液体在界面上的压强应与气体压强力p0相等，而切应力为零流道的入口和出口的边界条件指的是入口和出口断面上的流速和压强的分布。例如管流和明渠流等。对于某些流动，尚需考虑自由面上表面张力的作用等，涉及到温度场变化的，还需考虑温度的边界条件和初始条件。合理地给出流动问题的初始条件和边界条件，对于确定简捷的计算方法和获得难确的解是至关重要的，应引起足够的重视。2/6/202330§7–9不可压缩粘性流体紊流运动的基本方程及封闭条件前面讲的不可压缩粘性流体运动的基本方程式既适用于层流也适用于紊流，对于紊流，方程中的各量应为瞬时值，用随机的瞬时值表示的基本方程来研究紊流运动很困难。只有对基本方程取概率平均后得到主要用平均值表示的基本方程，才有可能研究和解决工程紊流问题。而且工程中关注的往往也是紊流的平均值，随着科学技术的发展，紊流运动也受到越来越多的关注。为简单起见，忽略质量力。将速度和压力的瞬时值分别用平均值和脉动值替代：2/6/202331将它们代入方程，应用平均运算法则进行简化，就可得到忽赂了质量力的不可压缩粘性流体紊流