理论力学8-动量定理1

动力学引言动力学研究物体机械运动与受力之间的关系。动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由两个及以上相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。

工程实际中的动力学问题

若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。

若已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和时间间隔后飞机才能达到飞离甲板时的速度。

工程实际中的动力学问题

棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2

工程实际中的动力学问题飞船的交会与对接v1v2牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。牛顿三定律1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。在30岁时，牛顿被选为皇家学会会员，这是当时英国最高科学荣誉。★

牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。牛顿三定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。牛顿三定律第二定律(力与加速度关系定律)在经典力学中质点的质量是守恒的。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用在质点上力的大小，加速度的方向与力的方向相同。牛顿三定律

牛顿三定律不是任何坐标系都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间产生的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。

以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。牛顿三定律

需要注意的是：力与参考系无关，但质点的加速度与参考系的选择有关，牛顿第一、第二定律不是任何参考系都适用的。牛顿定律适用的参考系称为惯性参考系。质点的动力学方程（质点运动微分方程）牛顿第二定律的投影形式：牛顿第二定律矢量形式：牛顿第二定律自然坐标的投影形式例8-1半径为R，偏心距OC=e的轮绕轴O以匀角速度ω

转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一质量为m的物块A，开始时OC沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω

最大值。解:1、建立图示直角坐标系Oxy，2、运动分析：导板与物块均沿y轴线作直线运动.

其运动方程为

yA

=AB+R+esinωtAmgFNaAAyx

研究物块A，画受力图。3、由质点动力学方程有：1°物块对导板的最大压力为2°若物块刚好离开导板，则应有要物块不离开导板yxAmgFNaAAF例2小车连同吊起的重物一起在桥式吊车梁上以匀速v0运动，因为某种原因急刹车时，小车下的吊物由于惯性向上摆动，吊绳长5m。求（1）刹车后绳子的最大张力；（2）重物最大摆角。解:1、研究对象：重物;2、运动分析：刹车后，小车不动，重物由于惯性向上摆动，运动轨迹为圆弧。加速度为切向与法向两部分。画受力图、加速度图：3、有质点的动力学方程：mgCv0Fmax出现在刹车的瞬间：3、结果分析：

max出现什么位置？由方程确定也可以由动能定理确定。mgFCv0例3质量皆为m的A、B两物块以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平面及铅垂面上，如图所示。当θ=60°时自由释放，求此瞬时A、B的加速度和杆AB所受的力。解:1、以滑块A、B为研究对象，画受力图：AmgNAFABBmgNBFBA3、列滑块A、B的动力学方程：

2、AB作平面运动，初瞬时滑块A、B的速度为零，杆AB角速度为零。A的加速度向下，B的加速度向右如图aAaB由于杆重不计，有FAB

=FBA(1)(2)aAaB也可用加速度投影关系：(3)4、联立求解（1）（2）（3）可得：可用基点法求A、B两点加速度关系：

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。这些定理建立了表现运动特征的量(动量、动量矩、动能)和表现力作用效果的量(冲量、力矩、功)之间的关系。

第8章动量定理

问题的提出：

子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬的钢板；M大v小m小v大

由此得到启示：可用质量与速度的乘积来度量物体的运动——称为动量。

压路机的碾子运动速度很小，但质量很大，可以碾坏挡道的物体。8.1动量与冲量8.1.1动量1)质点的动量动量是矢量,方向与速度方向相同。动量的单位为kg·m/s。2)质点系的动量质点的质量与速度的乘积称为质点的动量,记为

质点系各质点动量的矢量和称为质点系的动量。3)用质心速度求质点系动量质点系质量中心(质心)C的矢径将上式两边同时对时间t求导，有即：质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。CvCvCwCP=mlω/2P=mvcvC=0AOwC例1:分析下列运动构件的动量。P=08.1动量与冲量8.1.2冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量,方向与力的方向一致。冲量的单位为N·s,与动量的量纲相同。常力的冲量变力的冲量－要计算元冲量而力F在作用时间t内的冲量是矢量积分由牛顿第二定律有将n个方程相加,即得改变求和与求导次序,则得8.2动量定理设有n个质点组成的质点系，其中第i个质点的动量为mivi,作用在该质点上的外力与内力分别为Fi(e)

与Fi(i),有质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和(或外力的主矢)。其中:p=Smivi;由于内力成对出现,故所有内力的矢量和恒等于零,即SF(i)=0。于是可得8.2.1动量定理公式推导质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分投影形式8.2.1质点系的动量定理得质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式微分形式也可以写成p2＝p1＝恒矢量8.2.2质点系动量守恒定律如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴（如x轴）上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。p2x＝p1x

＝恒量例2:重锤的质量m＝3000kg,从高度h＝1.5m处自由下落到受锻压的工件上,工件发生变形历时t＝0.01s。求锤对工件的平均压力。解:以锤为研究对象,和工件接触后受力如图。工件反力是变力,在短暂时间迅速变化,用平均反力FN*表示。锤自由下落时间FN*mg由质点系动量定理的投影形式锤对工件的平均压力与反力FN*大小相等,方向相反,与锤的重量mg＝29.4kN比较,是它的56倍,可见这个力是相当大的。FN*mg例3已知平板重为2kN,沙箱重1kN,二者以速度v1＝3.5m/s运动。此时有一重为0.5kN的铅球垂直落入箱中后,测得箱在平板上滑动0.2s,不计车与地面摩擦,求箱与平板之间的摩擦力。解:研究系统,建立坐标系。代入已知数据,解得v2＝3m/s设沙箱滑动结束后平板速度为v2,则有FN1FN2m1gm2gm3gv1xFN1FN2m1gv2x求箱与平板之间的摩擦力，可以平板为研究对象代入已知数据,解得FS＝5kNFNFS由动量定理的投影形式有平板重为2kN,沙箱重1kN,铅球重为0.5kN,v1＝3.5m/s,t＝0.2s。v2＝3m/sFN1FN2m1gm2gm3gv1x8.3.1质心运动定理对质量不变的质点系(比如刚体),上式可改写为质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。由动量定理的微分形式8.3质心运动定理8.3.1质心运动定理形式上,质心运动定理与牛顿第二定律完全相似,因此质心运动定理也可叙述如下:质点系质心的运动,可以看成一个质点的运动,设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理可知,质点系的内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动。质心运动定理直角坐标投影式8.3.1质心运动定理自然轴上的投影式8.3.1质心运动定理1如果作用于质点系外力的矢量和恒等于零，则质心作匀速直线运动;8.3.2质心运动守恒定律若系统开始静止,则质心位置始终保持不变。

以上结论,称为质心运动守恒定律。8.3.2质心运动守恒定律2如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零,则质心速度在该轴上的投影保持不变;若开始时速度投影等于零,则质心沿该轴的坐标保持不变。ab

例1

质量为M的大三角块放在光滑水平面上,其斜面上放一和它相似的小三角块,其质量为m。尺寸如图。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。解:取系统分析,受力如图,建立如图坐标。MgmgFN由于SFx(e)＝0,且初始系统静止,所以xy设大三角块向左产生的位移为S，则解得xySabxyMgmgFN例2如图所示,电动机外壳固定在水平基础上。设定子质心位于转轴中心O1，转子质心O2到O1的距离为e，定子、转子的质量分别为m1、m2，已知转子以匀角速度w转动。求:(1)质心运动方程；(2)基础对电机总的水平和铅垂反力；(3)若电动机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。解:(1)建立如图坐标,任一瞬时，q＝wt，即有yxqeO2O1w

故质心运动方程为yxqeO2O1w(2)求基础对电机总的水平和铅垂反力由质心运动定理因故得m2gm1gFxFyMyxqeO2O1w(3)若电机没有螺栓固定,各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。在图示坐标下，假设初始时xC1＝a(此时O1O2在垂直位置),当转子转过q,定子向右移动距离S,则即由于SFx(e)＝0,v1＝0，所以质心水平位置不变，即xO2O1wm2gm1gFyyaSq以系统为研究对象,受力如图。解得由此可见,电动机在水平面上作往复运动。此时若,则。因此如电动机无螺栓固定,它将会跳起来。xO2O1wm2gm1gFyyaqSOAB

[练习]

图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。解:设A下降的速度为vA,B上升的速度为vB,则由运动学关系得以整个系统为研究对象,受力如图,建立如图坐标。系统的动量在坐标轴上的投影为OABavAvBm1gm2gFOxFOyxy由质点系的动量定理注意到可得OABOABavAvBm1gm2gFOxFOyxyqxyBACA'B'C'Fymg习题8-6

均质杆AB，长l，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无初速地倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹。解:分析杆AB受力。因水平方向受力为零,所以质心C在水平方向上运动守恒。设任意瞬时AB倾角为q，则有消去参数q得可见运动轨迹是一个椭圆。xAyAAyxjCO习题8-13

质量为m长为2l的均质杆OA绕水平固定轴O在铅垂面内转动。已知杆的角速度为w,角加速度为a。求杆在O轴的约束反力。解:采用质心运动定理。以杆为研究对象,受力如图,建立如图坐标。解得OAawjmgatCanCFOxFOy

均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质