第4章机械振动

第4章

机械振动1.简谐振动的运动特征与能量特征；2.拍现象，相互垂直简谐振动的合成；3.阻尼振动、受迫振动和共振。1.简谐振动的动力学方程；2.简谐振动的运动学方程；3.旋转矢量法；4.同方向、同频率谐振动的合成规律。掌握：了解：物体所受合外力的方向指向固定点；离开固定点越远所受合外力越大，越近越小。最简单、最基本的振动☻振动？物体在某固定位置附近作周期性的往返运动。具体弹性的系统受到外界扰动。振动产生的原因：任一物理量在某一数值附近往复变化。——广义振动推广：简单振动？①物体围绕固定点作一维直线振动。②必然要受到回复力的作用。③回复力与x最简单的关系是线性关系：§4-1简谐振动的动力学特征复杂振动——简谐振动合成分解——机械振动如：位移电流——线性回复力：作简谐振动设物体质量为m，则它作简谐振动的动力学方程为：令，得振子简谐振动微分方程：其解为简谐振动的运动学方程注意：“位移x”既可以为线量，也可以为角量等。式中A、、为常量，其中A、可由初始条件确定。（振动方程）：——作简谐振动的物体，它的位移x随时间t按余弦（或正弦）规律变化。判断简谐振动的标准之一!由振动方程可以得到物体（谐振子或振子）的速度与加速度，分别为：注意：还应结合初始条件共同确定。初始条件：

(t=0)速度：加速度：选静止平衡位置为坐标原点o，平衡时：一、几种常见的简谐振动系统▲水平放置的弹簧振子系统振子受力：m——是一个理想的系统模型！——是线性回复力有位移x时，弹簧谐振子受力为：▲竖直悬挂的弹簧振子系统m不记空气阻力、摩擦力、弹簧质量。作简谐振动令，得简谐振动（微分）方程：选垂直纸面向外为转轴的正向，摆锤对转轴的力矩：▲单摆——线性回复力矩——负号表示力矩与角位移反向！由转动定律得：令，得简谐振动微分方程：简谐振动方程：考虑在竖直平面内作小角度（≤5º）摆动的单摆，摆长为l，摆锤质量为m。当≤5º时，受线性回复力矩：▲复摆类似单摆，动力学方程为：——复摆的小角度摆动也是简谐振动。

复摆是一绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。刚体质量为m，转动惯量为J。等效于单摆：摆长为质心c至轴心o的距离h，摆锤质量为m。令，得：简谐振动方程：一、简谐振动的振幅、周期、频率和位相由谐振子的振动方程可见，振子的位简谐振动——等幅振动！——振幅移量：——最大位移的绝对值谐振子完成一次全振动所需时间。——用T标记——周期振动方程为周期函数，则：x(t)=x(t+T)即：或：振幅由初始条件确定：单位时间内完成振动的次数。——频率§4-2简谐振动的运动学

(、T)决定于系统的性质，每个振动系统有自己确定的频率。用表示:单位（SI）：rads-1单位时间内完成振动的次数的2倍——圆频率（角频率）弹簧振子：单摆：——固有频率振动方程也可表示为：——与初始条件无关！即：振动的位相相同→振动状态（x,v）相同!

·在同一个周期中振动状态不同。

·在不同周期中振动状态可以相同。位置：速度：可见：t时刻的振动状态由t+

确定。

位相（相位）

t=0

时刻的位相：

——确定t=0的振动状态约定：或：振子的振动状态由（x,v）确定！振动的位相——初位相——位相不同——位相差2k由初始条件定：同相——位相差反映两个振动之间的步调差异！位相差：两振动位相之差。对两同频率的谐振动：——初位相差=2-

1①当2-1=0②当2-

1=——两振动步调相同！——两振动步调相反！反相位相差：=(2t+2)-

(1t+1)称x2比x1超前（或x1比x2落后）速度：加速度：位移：v比x领先/2a比x领先振子的x、v、a的位相比较：③若0<

2-

1<

例：如图，证明密度计的运动为简谐振动，求角频率。解：设密度计截面S，质量m，液体密度不考虑黏滞阻力。以密度计平衡位置为原点建立ox坐标系，当将密度计下压

x高度时受力：→是线性回复力，运动为简谐振动。动力学方程为：⑵系统等效于劲度系数k=29.4N/m的弹簧，其振动周期为：例：如图，将294.0g的水银注入U形玻璃管，静止时两侧水银柱等高。忽略水银与管壁的摩擦，⑴证明水银柱受扰动后其液面作简谐振动；⑵求振动周期。（已知每厘米水银柱的质量为15.0g）解：⑴如图，以平衡位置为原点，向上建立ox坐标系。当液面位移为x时，水银柱所受力为F，则：即：水银柱受线性回复力作用，其液面作简谐振动。例：如图，在半径为a的实心球中挖去一半径为a/2的球形空腔，其球心距实心球心的距离为a/2。将该球放在光滑的水平面上处于平衡位置，求证：⑴该球以小角度偏离平衡位置时能否作简谐振动；⑵如能，求振动周期。即两串联弹簧等效一个弹簧，其频率为：例：劲度系数为k1的轻弹簧垂直悬挂质量为m振子，若在振子和弹簧之间串接另一轻弹簧，使系统的频率减少一半。问串联弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？得m所受力：弹簧1的原频率：要使：有：解：以m的平衡位置为原点建立ox坐标。设m处于x时弹簧1、2分别伸长x1、x2，即：两弹簧连接点处的弹力：m由上两式得：得：k1=k2？例：如图，两劲度系数分别为k1=3k2=30N/m的轻弹簧自然伸长，与质量m=75g的物体连接置于光滑的水平面上。⑴试证该系统能作简谐振动；⑵求物体振动的频率；⑶为使物体振动起来，给它一个向右的初速3m/s，求物体的振动方程。由胡克定律有：即：解：⑴取平衡位置为坐标原点，建立ox坐标系。当物体的位移为x时，设弹簧1、2的伸长量分别为x1、x2。由于物体受力等于弹簧1或弹簧2的弹性力，即有：——线性回复力，能作简谐振动⑵可见两弹簧等效于劲度系数为的弹簧，得物体⑶初始条件为：振动方程：则：振动的频率为：解：⑴当子弹穿过后摆锤的最大偏转角≤，则摆锤作简谐振动。设子弹穿过后摆锤获得初始角速度为0，最大偏转角为m。例：如图，质量M=100g摆线长l=1m的单摆处于静止状态。若一质量m=10g的子弹，以v0=100m/s的速率射穿摆锤而过，速度减为v=98m/s。⑴试证明摆锤随后作简谐振动；⑵求简谐振动方程。得：子弹射穿过程角动量守恒，摆锤的转动过程机械能守恒（静止摆锤位置为势能零点）：最大偏转角m即为振幅初始条件：⑵单摆角频率：——作简谐振动振动方程：有：二、简谐振动的描述方法1.解析法：2.曲线法：3.旋转矢量法旋转矢量（质点的位矢）

考虑一质点在半径为A的圆上作匀速圆周运动，角速度为。t时刻质点在x轴上投影点p的坐标为：t=0时刻跟x轴夹角为。则t时刻，与x轴的夹角为t+。——

直观地旋转矢量表现出简谐振动！x–t

曲线——旋转矢量端点的速度在x轴上的分量也就是作t时刻，与x轴的夹角为：

质点的速度在x轴上的分量t时刻在x轴上的分量为：简谐振动p点的速度。t时刻质点向心加速度在x轴上的分量为：——旋转矢量端点的向心加速度在x轴上的分量t时刻，与x轴的夹角为：

质点的向心加速度在x轴上的分量即是作简谐振动p点的加速度。例：如图，质量m=0.05kg的振子在光滑的水平面上振动，振幅a=0.1m，弹簧劲度系数k=40N/m。当振子运动至最大位置时，另一等质量的滑块以速率u=4m/s沿ox轴负向与之碰撞并粘在一起。求：⑴新系统的振动方程；⑵新振子第一次回到碰撞位置所用时间。解：⑴滑块、振子、弹簧组成新振动系统。新振子质量为2m，则新振动系统的角频率：以碰撞时刻为计时起点，则新振子的初位置：x0=0.1m由完全非弹性碰撞，设新振子的初速度v0，有：则新振子的振幅：旋转矢量法：作旋转矢量图，旋转矢量应在第一象限。直角三角形opA中：新振子的振动方程：⑵新振子第一次回到碰撞位置，旋转矢量转过角度:旋转矢量的角速度：新振子所用时间：新振子的初位相：有：t=1s时v=0，则：即：在RtopA中：例：如图为某振子简谐振动的v－t的关系曲线。试求振子的振动方程。解：设v的振动方程为：作关于v的旋转矢量图。即：得：∵t=1s时x=A=

，则：得振动方程：作旋转矢量图：因0→1s时间段振子速度从v0→vm→0，因此t=0时旋转矢量在第三象限，有：由图知vm=A=3，t=0时v0=vm/2，即：振动方程：另法：设简谐振动方程为：则：则：0→1s时间段旋转矢量转过的角度为：⑴动能：§4-3简谐振动的能量⑵势能：平均值：⑶

机械能：——机械能守恒!以弹簧振子为例

势能位移图例：振子质量为0.25kg的弹性振子系统，开始振动时具有势

能1.2J和动能0.8J，弹簧的倔强系数k=25N/m。求：

⑴振幅；⑵动能等于势能时物体的位置；⑶位移为振幅的一半时的动能和势能；⑷物体经平衡位置时的速度。

解：⑴系统总能量：⑵动能和势能各占总能量一半：⑶位移为振幅的一半：则：⑶平衡位置时：§4-4简谐振动的合成振动叠加原理主要讨论两种叠加形式：♦平行简谐振动叠加同频率不同频率♦垂直简谐振动叠加同频率不同频率力的叠加原理：•振子同时受到多个线性回复力的作用时，各回复力将产生各自的分振动；•振子实际的振动是各分振动位移矢量的叠加合成。反过来：一个复杂的振动可以分解成几个简单的分振动。物体受多个力的作用时，各个分力产生各自的加速度；物体的实际运动状态是各分加速度引起的运动状态的合成。应用到振动系统：一、同方向同频率的简谐振动的合成分振动:x1=A1cos(t+1)合振动:——合振动是简谐振动，其频率仍为！x=A

cos(t+

)x2=A2cos(t+2)x=x1+x2其中：旋转矢量法46页分析合振动的振幅：①若两分振动同相

21=0or2

②若两分振动反相

21=

如果A1=A2

→A=0则A=A1+A2则A=|A1-A2|如果A1=A2

→A=2A1③若21取值为其它情况，则有：可见：位相差在同频率简谐振动的合成中起决定性作用！→两分振动相互减弱→两分振动相互加强例：有两个同方向同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为

0.20m，位相与第一振动的位相差为/6，已知第一振动振幅为

，求第二振动的振幅，以及两振动的位相差。——说明A1与A2间夹角为/2，即两振动的位相差为/2。解：由题意作旋转矢量图，由图知：得：合振动的初位相：例：振子同时参与两个同方向同频率的简谐振动，其角频率=100Hz，振幅A1=2A2=0.1m，初位相差2-1=/3，已知第一振动的初位相1=/2。求合振动方程。见图，合矢量在第二象限，则初位相为：合振动方程为：解：由题意作旋转矢量图，由图知：合振动：当21时：2-12+1二、同方向不同频率的简谐振动的合成——合振动可看作“振幅缓变的简谐振动”

x=x1+x2合振动不是简谐振动以低频随t缓变以高频随t快变分振动:x1=Acos(1t+)x2=Acos(2t+)振幅：振幅缓变的频率：1拍振幅：合振动的振幅出现周期性变化的现象称为拍。振幅每变化一个周期即称为一拍。单位时间内拍出现的次数称为拍频。振幅角频拍的形成拍现象的应用三、垂直方向同频率简谐振动的合成分振动：x=Axcos(t+x)y=Aycos(t+y)振子位于xy平面内运动，为：轨迹⑴

当y-x=0、时，轨迹方程：——振子作简谐振动，振动频率与分振动相同。——直线当Ax=Ay时轨迹则为圆！⑵

当y-x=/2、3/2时，轨迹方程:——正椭圆——当y-x=/2时，因y轴分量超前x轴分量，此时振子在轨迹上沿顺时针方向旋转，运动周期与分振动相同。振动方向垂直、同频率两简谐振动的合成四、垂直方向不同频率简谐振动的合成▲在xoy平面，其合运动轨迹跟两分振动的频率、初相位有关，一般轨迹曲线不稳定、非闭合。▲当两振动的频率成整数比，轨迹曲线才是稳定、闭合。位相差：=(2t+2)-(1t+1)随时间变化。李萨如图形不同→两分振动的频率比不同

→判断两分振动的频率。李萨如图形可以应用到电子技术中测量频率。

——轨迹称为李萨如图形1.阻尼振动*§4-5阻尼振动受迫振动共振阻尼：消耗振动系统能量的原因。在流体（液体、气体）中低速振动的物体，所受阻力：：阻力系数当振动系统受到外界的阻力作用，振幅不断衰减，这样的振动称为阻尼振动。振子的动力学方程为：

：阻尼系数0：无阻尼时振子系统的固有角频率令，即：如：摩擦、辐射、电阻