高校工程数学孤立奇点教学课件

§5.1孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考要求一、孤立奇点的概念定义：若函数f(z)在z0不解析，但在z0的某一个邻域0<|z–z0|<δ内处处解析，则称z0为f(z)的孤立奇点。例如：是函数的孤立奇点.孤立奇点的概念注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。例如是函数的孤立奇点.孤立奇点真的孤立？xyo这说明奇点未必是孤立的。若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.孤立奇点[例1]

指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以孤立奇点结论：若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点。否则就不是孤立奇点，而是奇点。？孤立奇点的类型孤立奇点的类型依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:（1）可去奇点；（2）极点；（3）本性奇点1、

可去奇点如果罗伦级数中不含z–z0的负幂项，那末孤立奇点z0叫做f(z)的可去奇点。即：f(z)在z0的邻域内的罗伦级数实际上是一个普通的幂级数：c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…因此，这个幂级数的和F(z)是在z0解析的函数，且当z≠z0时，F(z)=f(z)；当z=z0时，F(z0)=c0。可去奇点

由于所以不论f(z)原来在z0是否有定义，如果令f(z0)=c0，那末在|z–z0|<δ内就有f(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…+cn(z–z0)n+…从而函数f(z)在z0就成为解析的了，由这个原因，所以z0叫做可去奇点。可去奇点其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2)判断极限：若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.可去奇点例如，z=0是sinz/z的可去奇点，因为这个函数的罗伦级数中不含负幂的项。如果我们约定sinz/z在z=0的值为1（即c0），sinz/z在z=0就成为解析的了。可去奇点例2

说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为2、极点1、定义如果罗伦级数中只有有限多个z–z0的负幂项，且其中关于(z–z0)-1的最高幂为(z–z0)-m，即或写成：那么孤立奇点z0叫做函数f(z)的m级极点。极点说明a.b.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果极点例如：对有理分式函数是二级极点,是一级极点.极点函数f(z)有m级极点时，函(z)也可写成：f(z)=g(z)/(z–z0)m

（5.1.1）其中，g(z)=c-m+c-m+1(z–z0)+c-m+2(z–z0)2+…其中，g(z)在|z–z0|<δ内是解析的函数，且g(z0)≠0。反过来，当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式时，那末z0是f(z)的m级极点。极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断

.极点判定如果z0为f(z)的极点，由(5.1.1)式，就有或写作例如，对有理分式函数f(z)=(z–2)/[(z2+1)(z–1)3]来说，z=1是它的一个三级极点，z=±i都是它的一级极点。

课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案3、

本性奇点定义：如果罗伦级数中含有无穷多个z–z0的负幂项，那未孤立奇点z0叫做f(z)的本性极点。例如，函数f(z)=e1/z以z=0为它的本性奇点，因为中含有无穷多个z的负幂项。本性奇点例如：含有无穷多个z的负幂项特点:

在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.本性奇点在本性奇点的邻域内，函数f(z)有以下的性质（证明略）：如果z0为函数f(z)的本性奇点，那末对于任意给定的复数A，总可以找到一个趋向于z0的数列，当z沿这个数列趋向于z0时，f(z)的值趋向于A。例如，给定复数A=i，我们把它写成i=e(π/2+2nπ)i。那么由e1/z=i，可得zn=1/[(π/2+2nπ)i]。显然，当n→∞时，zn→0。而e1/Zn=i，所以，当z沿{zn}趋向于零时，f(z)的值趋向于i。孤立奇点的性质（1）z0为f(z)的可去奇点性质1

若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：孤立奇点的性质（2）z0为f(z)的m（m≥1）级极点，则性质2若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是m级极点的特征）：孤立奇点的性质例如：z=1为f(z)的一个4级极点，z=i为f(z)的单极点。注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论.例如利用洛朗/罗伦展式容易知道，z=0分别是它们的单极点，可去奇点，二级极点。孤立奇点的性质性质3：若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是：

在判断函数的极点时，可比较性质2和性质3。性质4：z0为f(z)的本性奇点总结综上所述，如果z0为f(z)的可去奇点，那末

存在且有限；如果z0为f(z)的极点，那末

；如果z0为f(z)的本性奇点，那末

不存在且不为∞。因已讨论了孤立奇点的一切可能情形，所以反过来的结论也戍立。即可以利用上述极限的不同情形来判别奇点类型。

总结综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为二、函数零点和极点的关系m=1，z0也称为f(z)的单零点。例如z=0与z=1分别是函数f(z)=z(z–1)3的一级与三级零点。如果函数f(z)能表示成f(z)=(z–z0)mφ(z)（5.1.2）其中，φ(z)在z0解析并且φ(z0)≠0，m为某一正整数，那末，z0就称做f(z)的m级零点。1、零点的定义2、零点判定结论：如果f(z)在z0解析，那么z0为f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1),f(m)(z0)≠0（5.1.3）事实上，如果z0是f(z)的m级零点，那么f(z)可表示成（5.1.2）的形式。[证明]

必要性：由定义，在式f(z)=(z–z0)mφ(z)中，设φ(z)在z0的泰勒展开式为：φ(z)=c0+c1(z–z0)+c2(z–z0)2+…其中c0=φ(z0)≠0。如果为的级零点零点和极点的关系因而f(z)在z0的泰勒展开式为f(z)=c0(z–z0)m+c1(z–z0)m+1+c2(z–z0)m+2+…上式说明，f(z)在z0的泰勒展开式的前m项系数都为零。由泰勒级数的系数公式可知，这时f(n)(z0)=0,(n=1,2,3,…,m–1)，而f(m)(z0)/m!=c0≠0。这就证明了(5.1.3)是z0为f(z)的m级零点的必要条件。充分性：（省略）零点和极点的关系[解]（1）z=1是f(z)=z3–1的零点，由于f'(z)=3z2|z=1=3≠0，从而知z=1是f(z)的一级零点。[例1]

求以下函数的零点及级数:(1)(2)课堂练习：是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.(2)由于答案的零点及级数.求零点和极点的关系结论：一个不恒等于零的解析函数的零点是孤立的。3、零点和极点的关系函数的零点与奇点，有下面的关系（性质）：[定理5-1-1]

如果z0是f(z)的m级极点，那末z0就是1/f(z)的m级零点。反过来也成立。[证]如果z0是f(z)的m级极点，根据(5.1.1)式，便有f(z)=g(z)/(z–z0)m函数g(z)在z0解析，且g(z0)≠0。所以当z≠z0时，有1/f(z)=(z–z0)m/g(z)=(z–z0)mh(z)（5.1.4）函数h(z)也在z0解析，且h(z0)≠0。[定理5-1-1]因此z0是1/f(z)的m级零点，只要我们令1/f(z0)=0。反过来，如果z0是1/f(z)的m级零点，那么1/f(z)=(z–z0)mφ(z)这φ(z)里在z0解析，并且φ(z0)≠0。由此，当z≠z0时，得f(z)=ψ(z)/(z–z0)m而ψ(z)=1/φ(z)在z0解析，并且ψ(z0)≠0。所以z0是f(z)的m级极点。[证毕][定理5-1-2][定理5-1-2]如果z0是f(z)的m(m>1)级零点，那末z0也是f'(z)的m-1级零点。奇点举例[例5-1-1]试求1/sinz的奇点。[解]函数1/sinz的奇点显然是使sinz=0的点。这些奇点是z=kπ(k=0,±1,±2,…)，因为从sinz=0得eiz=e-iz或e2iz=1。从而有2iz=2kπi，所以z=kπ。很明显它们是孤立奇点。由于(sinz)'|z=kπ=cosz|z=kπ=(–1)k≠0所以z=kπ都是sinz的一级零点，也就是1/sinz的一级极点。零点和极点的关系注意：求函数奇点时，不能一看函数的表面形式就急于作出结论。象函数(ez–1)/z2，初看似乎z=0是它的2级极点，其实是一级极点。因为其中φ(z)在z=0解析，并且φ(0)≠0。类似地，z=0是shz/z3的2级极点而不是3级极点。

零点/极点的判定在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的。（2）当m≧n时，z0是f(z)/g(z)的可去极点；（3）当m<n时，z0是f(z)/g(z)的n–m级极点。证定理：零点/极点的判定说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法零点/极点的判定例如：零点/极点的判定例3

函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解

函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即零点/极点的判定解

解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思考[例4]问是的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.零点/极点的判定三、

函数在无穷远点的性态在讨论函数f(z)的解析性和它的奇点时，都假定z为有限远点。至于函数在无穷远点的性态，则未提及。有时在考虑解析函数的孤立奇点时，将无穷远点考虑在内会给我们处理问题带来极大方便.函数在无穷远点的性态定义：Rxyo函数在无穷远点的性态函数f(z)在无穷远点z=∞的（去心）邻域R<|z|<∞内解析（称∞为f(z)的孤立奇点）。作变换z=1/t，并且约定这个变换把z平面上的无穷远点z=∞映射成t平面上的点t=0，那么每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与向零收敛的序列{tn=1/zn}相对应。反过来也是这样。函数在无穷远点的性态即：令变换规定此变换将:映射为扩充z平面扩充t平面映射为映射为映射为函数在无穷远点的性态同时，z=1/t把∞的邻域R<|z|<∞变为t平面上原点O的邻域0<|t|<1/R，又f(z)=f(1/t)=φ(t)这样，就可以把邻域R<|z|<∞内对函数f(z)的研究化为在邻域0<|t|<1/R内对函数φ(t)的研究。显然，φ(t)在邻域0<|t|<1/R内是解析的，所以t=0是φ(t)的孤立奇点。函数在无穷远点的性态

规定/定义：如果t=0是φ(t)的可去奇点、m级极点或本性奇点，那么就说点z=∞是f(z)的可去奇点、级奇点或本性奇点。由于f(z)在R<|z|<∞内解析，所以在此圆环域内可以展开成罗伦级数，有

（5.1.5）其中，C为圆环域R<|z|<∞内绕原点的任何一条正向简单闭曲线。函数在无穷远点的性态因此，φ(t)在圆环域0<|t|<1/R内的罗伦级数可由(5.1.5)得到，即

（5.1.6）我们知道，如果在级数（5.1.6）中

（1）不含负幂项；（2）含有有限多的负幂项，且t-m为最高负幂项；（3）含有无穷多的负幂项。

那么t=0是φ(t)的

（1）可去奇点；（2）m级极点；（3）本性奇点。函数在无穷远点的性态因此，根据前面的规定。如果在级数（5.1.5）中：

（1）不含正幂项；（2）含有有限多的正幂项，且zm为最高正幂；（3）含有无穷多的正幂项。那么z=∞是f(z)的

（1）可去奇点；（2）m级极点；（3）本性奇点。这样一来，对于无穷远点来说，它的特性与其罗伦级数之间的关系就跟有限远点的情形一样，不过只是把正幂项和负幂项的作用互相对调就是了。

2、判别方法1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)在内的洛朗级数中:如果函数在无穷远点的性态[例10](1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:函数在无穷远点的性态不含正幂项所以是的可去奇点.(2)函数含有正幂项且z为最高正幂项,所以是的m级极点.函数在无穷远点的性态(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案函数在无穷远点的性态判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存