2022年高考数学一轮复习 空间几何中的垂直（精讲）（解析版）

7.2空间几何中的垂直（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一线面垂直【例1-1】（2021·广东节选）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】∵为的中点，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由题设易知：，故，又，∴，则，又，∴平面.【例1-2】．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点，求证：（1）【答案】证明见解析【解析】连接，由己知，E为中点，又，故四边形为正方形，所以知∵面面又面面，，平面∴平面，故．同理可证又，故平面连接，可知又，∴可知平面又平面∴由已知，故四边形为平行四边形故∴可知【一隅三反】1．（2021·安徽六安市·六安一中节选）如图，四棱锥中，平面平面，，，，，求证：平面【答案】证明见详解【解析】平面平面，平面平面，，，平面，又平面，，又，，，，，，，，又，平面；2．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，证明：平面【答案】证明见解析【解析】因为，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面，所以，又因为，，所以，所以，又，所以平面；3．（2021·安徽）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点M在棱上，点N是BC的中点，且满足，证明：AM⊥平面【答案】证明见解析【解析】联结AC，由知，，即，由在直四棱柱中，平面ABCD，则又，则平面ACM，又平面ACM，则，又，则，由条件知，且，故平面；4．（2021·吉林松原市·高三月考）在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】因为，，所以，所以，又因为为平行四边形，所以，，因为，，，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，，，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，所以平面.考点二面面垂直【例2】（2021·全国高考真题节选）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.【一隅三反】1．（2021·湖南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，且底面.（1）求证：平面平面；（2）若为棱的中点，在棱上求一点F，使平面.【答案】（1）证明见解析；（2）点F为棱的中点（证明见解析）【解析】（1）证明：因为底面，平面,所以；又底面为正方形，所以,,所以平面,又平面，所以平面平面,得证.（2）如图所示，取的中点,的中点,连接、、,所以会有,,又,,所以且,所以四边形为平行四边形，所以,面,面,所以平面平面,所以点，即为我们要找的F点.2．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．3．（2021·河南高三）如图，在三棱柱中，，，，，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.考点三线线垂直【例3】．（2021·上海节选）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，求证：AC⊥BE【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面，又平面，所以，因为是正方形，所以，又，所以平面．又平面，所以．【一隅三反】1．（2021·福建节选）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：【答案】证明见解析【解析】由题意，在直三棱柱中，，不妨设，则，由余弦定理可得，因为，可得，又由是线段的中点，所以，且，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以,在直角中，，因为是线段靠近点的四等分点，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因为平面，所以.2．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点，证明：【答案】证明见解析【解析】连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，∵PA=PD,∴PF⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，又∵EF为△ABD中BD边的中位线∴平行且等于又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,∵PF,EF面EFP，PFEF=F，∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，∴3．（2021·云南）如图，圆台的上底面半径为1，下底面半径为为圆台的母线，平面平面为的中点，为上的任意一点，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：取中点，连接，因为圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，，所以，又因为，所以为正三角形，于是，．因为为中点，所以，因为平面平面，所以平面平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以．考点四垂直中的动点问题【例4】（2021·湖南）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.【解析】（1）取中点，连接，，在中，因为，分别是，中点，所以，且，在平行四边形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）在线段上存在点，使得平面，取的中点，连，连，因为平面，平面，平面，所以，，在中，因为，分别是，中点，所以，又由（1）知，所以，，由得平面，故当点是线段的中点时，平面.此时，.【一隅三反】1．（2021·山西高三月考）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由【答案】存在点满足题意，且，证明详见解析【解析】存在点满足题意，且.证明如下：取的中点为，连接.则，所以平面.因为是的中点，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交线为，所以平面，所以.在平面内，，，所以，从而可得.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.2．（2021·上海）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于，试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；【答案】中点；见解析【解析】在棱上取中点，连、．平面，以．在正方形中，因为、分别为、的中点，又因为平面，所以，所以，平面3．（2021·北京高考模拟（文））如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为侧棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在