北师版九年级数学下册第三章圆教学课件习题课件

3.1圆第三章圆1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）3.初步了解点与圆的位置关系.学习目标

一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？情境引入讲授新课·rOA问题

观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？探究圆的概念探究归纳圆的旋转定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.有关概念固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于

．（2）到定点的距离等于定长的点都在

．

圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面上到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形．O·ACErrrrrD定长r同一个圆上圆的集合定义问题：从画圆的过程可以看出什么呢？一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．同心圆

等圆半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同确定一个圆的要素能够重合的两个圆叫做等圆.甲丙乙丁为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.问题：现在你能回答本课最开始的问题了吗？例1

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OD.

又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.典例精析

弦:·COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意圆的有关概念弧:·COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．半圆等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.想一想：长度相等的弧是等弧吗？劣弧与优弧·COAB小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC

;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是.ABCEFDO劣弧：优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(AED,(AEF.(AF(练一练1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”.2.直径是圆中最长的弦.附图解释：·COAB连接OC,在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.知识要点例3如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.连OA,OD即可，同圆的半径相等.ⅠⅡ10？x2x在Rt△ABO中，算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为.xxxx变式：如图，在扇形MON中，，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.解：连接OA.∵ABCD为正方形∴DC=CO设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x又∵OA=OM=10∴在Rt△ABO中,.问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？.o.C....B..A点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

.

练一练：圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内

B.小圆内C.小圆外

D.大圆内，小圆外oDrPdPrd

PrdRrP点P在⊙O内

d<r点P在⊙O上

d=r点P在⊙O外

d>r

点P在圆环内

r＜d＜R数形结合：位置关系数量关系要点归纳例4：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上

AB=3<r，故B点在⊙A内

AC=5>r，故C点在⊙A外（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3<r<5变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.骑车运动看了此画,你有何想法?想一想思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有

条直径，

条非直径的弦，

圆中以A为一个端点的优弧有

条，

劣弧有

条．直径半径一二四四当堂练习ABCDOFE2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.

3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

.上外上4.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内

B.在⊙O上

C.在⊙O外

D.在⊙O上或⊙O外B5.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,

则这个圆的半径是

.7cm或3cm1·2cm3cm6.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O能力拓展：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个?怎样安装?请说明理由.圆定义旋转定义要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径集合定义同圆半径相等有关概念弦（直径）直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧课堂小结点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d>rd=rd<r位置关系数量化点P在圆环内

r≤d≤RRrP3.2圆的对称性第三章圆1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）学习目标

熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？导入新课情境引入讲授新课问题1

圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？问题2你是怎么得出结论的？圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.用折叠的方法●O圆的对称性探究归纳.OAB180°问题3将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆的对称性：

圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究归纳问题4把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.·探究归纳在同圆中探究在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒⌒C·OABD由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，

那么，，弦AB=弦CD归纳圆心角、弧、弦之间的关系O′

·OAB如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？

·CD在等圆中探究

通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.归纳⌒⌒

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC弧、弦与圆心角的关系定理要点归纳想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．弧、弦与圆心角关系定理的推论要点归纳

××√抢答题1.等弦所对的弧相等.（）2.等弧所对的弦相等.（）3.圆心角相等，所对的弦相等.

()

例1

如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？

·EBCOAD解:BE=CE.理由是：∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE.又∵AD=CE，∴BE=CE.∴BE=CE.⌒

⌒⌒

⌒⌒

⌒⌒

⌒关系定理及推论的运用典例精析解：∵

例2

如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例3

如图，在⊙O中，AB=AC

,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

·ABCO⌒⌒

温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.∵AB=CD，⌒⌒

填一填：

如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么_________，____________．（2）如果，那么_________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．·CABDEFOAB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((针对训练（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？解：OE=OF.理由如下：·CABDEFO1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于

.D60°当堂练习3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）⌒⌒AA.AB=2CD

⌒⌒B.AB>CD

⌒⌒C.AB<CD

⌒⌒D.不能确定

4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，

求证:AB＝CD..CABDO能力提升：我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则CD=2AB，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？⌒⌒解：CD=2AB不成立.理由如下：取的中点E,连接OE，CE，DE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.ABCDEO圆心角相等弧相等弦相等弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或等圆中应用提醒①要注意前提条件；②要灵活转化.课堂小结圆圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.*3.3垂径定理第三章圆1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课情境引入问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC讲授新课垂径定理及其推论·OABDCP已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？试一试垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(结论)归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC归纳总结

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索

DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：④AC=BC⑤AD=BD①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE⌒⌒⌒⌒证明猜想如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒证明举例思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.垂径定理的推论·OABCD归纳总结平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴cm.垂径定理及其推论的计算典例精析例2

如图，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2

∵

例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●

OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.

如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm针对训练

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·方法归纳1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°,则弦AC=

.

103cm当堂练习3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.

4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.O.ACDBE6.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为

.14cm或2cm5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF=AB=3m，∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，∴AO=r，OF=r-2，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+（r-2）2，解得r=m．即，AB所在圆O的半径为m．拓展提升：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结3.4圆周角和圆心角的关系第三章圆第1课时圆周角和圆心角的关系1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.（重点）3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点）学习目标

问题1

什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角,

如∠BOC.导入新课A复习引入在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角（∠ABE）有关.问题2图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？CAEDB

顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）讲授新课圆周角的定义·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.等于圆周角定理及其推论测量与猜测已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC.求证：∠BAC=∠BOC.推导与验证圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠COABDOACDOABCD圆心O在∠BAC的内部OACDOABDOABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心O在∠BAC的外部圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理及其推论A1A2A3推论1：同弧所对的圆周角相等.要点归纳1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=

º，理由是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半练一练(1)完成下列填空：

∠1=

.∠2=

.∠3=

.∠5=

.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((23456782.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒⌒推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.解：∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为,

例1

如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.AB⌒BCO.70°A∴∠ACB=∠AOB=25°.同理∠BAC=∠BOC=35°.

典例精析例2如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（）A．90° B．45° C．180° D．60°A例3

如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．75°C例4如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°解析：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）√××当堂练习2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=

．BACO166°3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB=

，∠ACB=

.DAOCB130°50°4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

.CABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2.25.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外），与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论1课堂小结圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点)学习目标问题1什么是圆周角？

导入新课特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACDE复习引入问题2

什么是圆周角定理？

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.导入新课如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？情境引入讲授新课思考：如图，AC是圆o的直径，则∠ADC=

，∠ABC=

.90°90°

推论：直径所对的圆周角是直角.反之，90°的圆周角所对的弦是直径.直径所对应的圆周角问题

回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.

例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，典例精析在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

归纳如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(

)A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.C练一练

四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？圆内接四边形及其性质如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.

(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º性质探究证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知12由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°试一试圆内接四边形的对角互补.推论要点归纳CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？想一想1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º练一练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.A例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.典例精析1.如图，AB是⊙O的直径,C

、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°ABOCD当堂练习2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°

B.110°C.90°

D.120°BACBODE3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）变式：已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.ABCOD4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B．C．D．2A5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．课堂小结圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径3.5确定圆的条件第三章圆1.复习并巩固圆中的基本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.(重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.（难点）学习目标问题1

构成圆的基本要素有那些?导入新课or两个条件:圆心半径那么我们又该如何画圆呢?复习与思考问题2

过一点可以作几条直线？问题3

过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A讲授新课探索确定圆的条件合作探究回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；2.作直线MN.NMAB问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.ABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.有且只有位置关系ABCDEGF●o归纳总结

不在同一直线上的三个点确定一个圆.例1

小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块B典例精析试一试：

已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心1.外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆.这个三角形叫作这个圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：概念学习判一判：下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()√××√分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.ABC●OABCCAB┐●O●O画一画锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在直角△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝

，AD＝2OD＝6，∴点A的坐标是(，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，∴△AOB外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．1.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）√×××当堂练习2.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.B3.如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心.ABCO方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C.2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,⊙O即为所求.4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点MB5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．解：∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．（5，2）8.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________．解析：如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，设⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE⊥BC于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，OE⊥BC，∴∠BOE=60°，BE=EC=3，∴sin60°=，∴OB=，故答案为．作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆注意：同一直线上的三个点不能作圆课堂小结三角形外接圆概念性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外心外接圆的圆心叫三角形的外心3.6直线和圆的位置关系第三章圆第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点）3.理解并掌握圆的切线的性质定理.（重点）学习目标点和圆的位置关系有几种？d<rd=rd>r用数量关系如何来判断呢？⑴点在圆内·P⑵点在圆上·P⑶点在圆外·P(令OP=d)导入新课知识准备问题1

如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？讲授新课用定义判断直线与圆的位置关系问题2

请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？●●●l02直线与圆的位置关系

图形

公共点个数

公共点名称

直线名称2个交点割线1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填

直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.AlO知识要点直线与圆最多有两个公共点.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切.④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离.⑤直线a

和☉O有公共点，则直线a与☉O相交.√××××判一判问题1

刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？相关知识：

点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.lAO圆心到直线的距离在发生变化；首先距离大于半径，而后距离等于半径，最后距离小于半径.用数量关系判断直线与圆的位置关系问题2

怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？Od合作探究直线和圆相交d<r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>rrd∟rd∟rd数形结合：位置关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo直线与圆的位置关系的性质与判定的区别：位置关系

数量关系.公共点个数要点归纳1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d

：（3）若d=8cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

（2）若d=6cm,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.

（1）若d=4cm,则直线与圆

,直线与圆有____个公共点.相交相切相离210练一练(3)若AB和⊙O相交,则

.2.已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:(1)若AB和⊙O相离,则

;(2)若AB和⊙O相切,则

;d>5cmd=5cm0cm≤d<5cm例1

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与圆C相切？．BCA43D∴解：过C作CD⊥AB，垂足为D.在△ABC中，AB=5.根据三角形的面积公式有因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切.记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.典例精析问题对于例1(1)，你还有其他解法吗？BCA43D∵BC=4，AC=3，AB=5，因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切.(2)以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？①

r=2cm；②

r=2.4cm；③

r=3cm．解：由(1)可知圆心C到AB的距离d=2.4cm.所以①当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.②当r=2.4cm时,有d=r.因此⊙C和AB相切.③当r=3cm时，有d<r，因此，⊙C和AB相交.ABCAD453

变式题:

1.Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB没有公共点？当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ABCAD453当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.思考：如图，如果直线l是⊙O

的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O

的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线性质

圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式圆的切线的性质小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.切线性质的证明反证法的证明视频CDOA证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．60°练一练1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=

.2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD=

cm.利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.方法总结.O.O.O.O.O1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？(1)(2)(3)(4)(5)

相离

相交

相切

相交?注意：直线是可以无限延伸的．当堂练习

相交2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥53.⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O

.4.⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能B相离A5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（

）A．40°B．35°C．30°D．45°C第6题PODABC6.如图，已知AB是⊙O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC。（1）求证：AC=OB.（2）求∠B的度数.(1)证明：∵AB是⊙O的切线，OA为半径，

∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，∵OC=CB，∴AC=OC=OB.(2)解：由(1)可知OA=OC=AC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴在Rt△OAB中，

∠B=90°-60°=30°.已知⊙O的半径r=7cm,直线l1

//l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.ol1l2ABCl2（1）

l2与l1在圆的同一侧：

m=9-7=2cm（2）l2与l1在圆的两侧：

m=9+7=16cm解：设

l2与l1的距离为m，拓展提升课堂小结相离相切相交直线与圆的位置关系直线和圆相交d<r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>r用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分:直线与圆没有公共点直线与圆有唯一公共点直线与圆有两个公共点切线的性质有1个公共点d=r圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.性质定理3.6直线和圆的位置关系第三章圆第2课时切线的判定及三角形的内切圆1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）学习目标砂轮上打磨工件时飞出的火星下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？导入新课情境引入讲授新课问题1如图，OA是⊙O的半径，经过OA的外端点A，作一条直线l⊥OA，圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有怎样的位置关系？ll圆的切线的判定合作探究

圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l

与圆O相切.ll过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC

⊥

OA于ABC为⊙O的切线ＯABC切线的判定定理应用格式O要点归纳下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.

在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳用三角尺过圆上一点画圆的切线.（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O

上一点P，过点P画⊙O

的切线．画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP

重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？做一做例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙